TSINGHUA UNIVERSITY第第7 7章章 梁的强度计算梁的强度计算第二篇第二篇 材料力学材料力学工程力学工程力学TSINGHUA UNIVERSITY杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面 内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线。这种受力与变形内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线。这种受力与变形 形式称为弯曲。主要承受弯曲的杆件称为梁。形式称为弯曲。主要承受弯曲的杆件称为梁。第第7 7章章 梁的强度计算梁的强度计算根据内力分析的结果，梁弯曲时，将在弯矩最大的横根据内力分析的结果，梁弯曲时，将在弯矩最大的横 截面处发生失效。这种最容易发生失效的截面称为截面处发生失效。这种最容易发生失效的截面称为“ “危险截危险截 面面” ”。但是，危险截面的哪一点最先发生失效？怎样才能保。但是，危险截面的哪一点最先发生失效？怎样才能保 证梁不发生失效？这些就是本章所要讨论的问题。证梁不发生失效？这些就是本章所要讨论的问题。TSINGHUA UNIVERSITY第第7 7章章 梁的强度计算梁的强度计算要知道横截面上哪一点最先发生失效，必须知道横截要知道横截面上哪一点最先发生失效，必须知道横截 面上的应力是怎样分布的。第面上的应力是怎样分布的。第5 5章中已经分析了梁承受弯曲章中已经分析了梁承受弯曲 时横截面上将有剪力和弯矩两个内力分量。时横截面上将有剪力和弯矩两个内力分量。与这两个内力分量相对应，横截面上将有连续分布的与这两个内力分量相对应，横截面上将有连续分布的 剪应力和正应力。第剪应力和正应力。第6 6章中所介绍的是应用平衡原理与平衡章中所介绍的是应用平衡原理与平衡 方法，确定梁的横截面上的剪力和弯矩。但是，剪力和弯方法，确定梁的横截面上的剪力和弯矩。但是，剪力和弯 矩只是横截面上分布剪应力与正应力的简化结果。怎样确矩只是横截面上分布剪应力与正应力的简化结果。怎样确 定梁的横截面上的应力分布？定梁的横截面上的应力分布？ TSINGHUA UNIVERSITY第第7 7章章 梁的强度计算梁的强度计算应力是不可见的，而变形却是可见的，而且应力与应应力是不可见的，而变形却是可见的，而且应力与应 变存在一定的关系。因此，为了确定应力分布，必须分析变存在一定的关系。因此，为了确定应力分布，必须分析 和研究梁的变形，必须研究材料应力与应变之间的关系，和研究梁的变形，必须研究材料应力与应变之间的关系， 即必须涉及变形协调与应力应变关系两个重要方面。二即必须涉及变形协调与应力应变关系两个重要方面。二 者与平衡原理一起组成分析弹性杆件应力分布的基本方法者与平衡原理一起组成分析弹性杆件应力分布的基本方法 。 绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关，剪应力绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关，剪应力 的影响是次要的。本章将主要确定梁横截面上正应力以及的影响是次要的。本章将主要确定梁横截面上正应力以及 与正应力有关的强度问题。与正应力有关的强度问题。 TSINGHUA UNIVERSITY 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件 与应力分析相关的截面图形几何性质与应力分析相关的截面图形几何性质 平面弯曲平面弯曲时梁横截面上时梁横截面上的正应力的正应力 平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例 结论与讨论结论与讨论 梁的强度计算梁的强度计算 斜弯曲斜弯曲 弯矩与轴力同时作用时横截面上的弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力正应力 第第7 7章章 梁的强度计算梁的强度计算返回总目录TSINGHUA UNIVERSITY返回 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件第第7 7章章 梁的强度计算梁的强度计算返回总目录TSINGHUA UNIVERSITY 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的: :桥式吊车的大桥式吊车的大 梁可以简化为两端饺梁可以简化为两端饺 支的简支梁。在起吊支的简支梁。在起吊 重量重量( (集中力集中力F FP P) )及大梁及大梁 自身重量自身重量( (均布载荷均布载荷q q) ) 的作用下的作用下, ,大梁将发生大梁将发生 弯曲。弯曲。 TSINGHUA UNIVERSITY 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的: :石油、化工设备中各种直立式反应塔石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。作用下，反应塔将发生弯曲变形。 TSINGHUA UNIVERSITY 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的工程中可以看作梁的杆件是很多的: :火车轮轴支撑在铁轨上，火车轮轴支撑在铁轨上， 铁轨对车轮的约束，可以看作铁轨对车轮的约束，可以看作 铰链支座，因此，火车轮轴可铰链支座，因此，火车轮轴可 以简化为两端外伸梁。由于轴以简化为两端外伸梁。由于轴 自身重量与车厢以及车厢内装自身重量与车厢以及车厢内装 载的人货物的重量相比要小得载的人货物的重量相比要小得 多，可以忽略不计，因此，火多，可以忽略不计，因此，火 车轮轴将发生弯曲变形。车轮轴将发生弯曲变形。TSINGHUA UNIVERSITY返回 与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面图形几何性质图形几何性质 第第7 7章章 梁的强度计算梁的强度计算返回总目录TSINGHUA UNIVERSITY 讨论拉伸和压缩杆件横截面上应力时，根据讨论拉伸和压缩杆件横截面上应力时，根据 拉伸和压缩时均匀变形的特点，推知杆件横截面拉伸和压缩时均匀变形的特点，推知杆件横截面 上的正应力均匀分布，从而得到正应力表达式上的正应力均匀分布，从而得到正应力表达式 其中其中A A为杆件的横截面面积。为杆件的横截面面积。 与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面图形几何性质图形几何性质 当杆件横截面上，除了轴力以外还存在弯矩当杆件横截面上，除了轴力以外还存在弯矩 时，其上之应力不再是均匀分布的，这时得到的时，其上之应力不再是均匀分布的，这时得到的 应力表达式，仍然与横截面上的内力分量以及横应力表达式，仍然与横截面上的内力分量以及横 截面的几何量有关。但是，这时的几何量将不再截面的几何量有关。但是，这时的几何量将不再 是横截面的面积，而是其他的形式。是横截面的面积，而是其他的形式。 TSINGHUA UNIVERSITY 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同 的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面 的几何形状有关。的几何形状有关。FNMz 与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面图形几何性质图形几何性质 TSINGHUA UNIVERSITY 研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及 强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形 的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何 量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极 惯性矩、惯性积、主轴等。惯性矩、惯性积、主轴等。 与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面图形几何性质图形几何性质 TSINGHUA UNIVERSITY 与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面图形几何性质图形几何性质 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 TSINGHUA UNIVERSITY 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面图形几何性质图形几何性质 TSINGHUA UNIVERSITYz zy yO Od dA Ay yz z图形对于图形对于 y y 轴的静矩轴的静矩图形对于图形对于 z z 轴的静矩轴的静矩 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面图形几何性质图形几何性质 TSINGHUA UNIVERSITYAz zy yO Od dA Ay yz zz zy yO Oz zC CC Cy yC C分力之矩之和分力之矩之和合力之矩合力之矩 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面图形几何性质图形几何性质 TSINGHUA UNIVERSITY静矩与形心坐标之间的关系静矩与形心坐标之间的关系 已知静矩可以确定图形的形心坐标已知静矩可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标可以确定静矩已知图形的形心坐标可以确定静矩 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面图形几何性质图形几何性质 TSINGHUA UNIVERSITY 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面图形几何性质图形几何性质 静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的 坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为正；对另坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为正；对另 外一些坐标轴静矩则可能为负；对于通过形心的坐标外一些坐标轴静矩则可能为负；对于通过形心的坐标 轴，图形对其静矩等于零。轴，图形对其静矩等于零。 如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置 ；反之，如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可；反之，如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可 计算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。计算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。 TSINGHUA UNIVERSITY 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面图形几何性质图形几何性质 实际计算中，对于简单的、规则的图形，其实际计算中，对于简单的、规则的图形，其 形心位置可以直接判断，例如：矩形、正方形、圆形形心位置可以直接判断，例如：矩形、正方形、圆形 、正三角形等的形心位置是显而易见的。对于组合图、正三角形等的形心位置是显而易见的。对于组合图 形，则先将其分解为若干个简单图形（可以直接确定形，则先将其分解为若干个简单图形（可以直接确定 形心位置的图形）；然后分别计算它们对于给定坐标形心位置的图形）；然后分别计算它们对于给定坐标 轴的静矩，并求其代数和。轴的静矩，并求其代数和。 TSINGHUA UNIVERSITY对于组合图形对于组合图形 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 与应力分析相关的截面与应力分析相关的截面图形几何性质图形几何性质 TSINGHUA UNIVERSITY 惯性矩、极惯性矩、惯性积惯性矩、极惯性矩、惯性积 、 惯性半径惯性半径 与应力分析相关的截面与