第十五讲 二重积分的计算1 概念 2 直角坐标系二重积分 3 极坐标系二重积分柱体体积=底面积 高 特点：平顶.柱体体积=？ 特点：曲顶.曲顶柱体的体积一、问题的提出播放求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、 取极限”的方法，如下动画演示步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底 ，并取典型小区域，曲顶柱体的体积积分区域积分区域积分和积分和被积函数被积函数积分变量积分变量被积表达式被积表达式面积元素面积元素对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，故二重积分可写为D D则面积元素为性质当 为常数时，性质（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质对区域具有可加性性质 若 为D的面积，性质 若在D上特殊地则有性质性质（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）如果积分区域为：其中函数 、 在区间 上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分X型应用计算“平行截面 面积为已知的立体 求体积”的方法,得如果积分区域为 ：Y型X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别 使用积分公式则必须分割.解积分区域如图解积分区域如图解原式解二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结Y型X型思考题思考题解答二、利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图解解解二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）二、小结思考题思考题解答