2016年 11月一题一课:从教材“ 探究问题” 出发以“ 抛 物 线 型 拱 桥 问 题 ” 习题课为例以“ 抛 物 线 型 拱 桥 问 题 ” 习题课为例 江苏省如皋市九华初级中学谢小兵江苏省如皋市九华初级中学谢小兵近读 中学数学 (初中版） ， 不少同行围绕最近中考 试题的解析与反思开展了很有意义的“ 一题一课” 的构 建 ， 这些“ 一题一课” 课例十分接地气， 笔者基本可以直 接拿到课堂上去使用， 减少了不少备课的工作量.受到 启发， 笔者针对九年级教材上的探究问题(拋物线型拱 桥问题） ， 也开发了一节“ 一题一课” ， 取得较好的教学效 果.本文整理该课的教学设计与课件PPT截图， 供分享与 研讨.一、 教学环节(一） 复习引入， 热身练习(一） 复习引入， 热身练习以两个顶点在原点的拋物线为问题背景，引入新 课 .热身问题:在平面直角坐标系xOy中， 拋物线y=ax2 与直线y=2交于A、B两点， 当AB=2时， 求a的值.预设追问:将该拋物线沿x轴翻折， 你能直接看出这 个拋物线的解析式吗？若该拋物线与直线y=-3交于C、D 两点， 求CD的长.预设课件， 动画功能渐次呈现， 截图如下(如图1):例题、 变式题等， 都是她精心设计和改编而来.比如选编 的关于整理成一元二次方程的一般形式的练习题， 整理 后的方程分别为x2-4=0、 3x2-5x=0、x2-2x-15=0，这就为 学生根据“ 降次， 转化为一元一次方程来解” 这一基本思 想进行自我探索转化的方法， 提供了教学情境.3.李老师运用所创设的数学情境， 探讨了一元二次李老师运用所创设的数学情境， 探讨了一元二次 方程的四种基本解法方程的四种基本解法本节课的引例， 改编了课本引例的数据， 使整理的 方程为x2 -14x+24=0,也是为学生初步了解一元二次方 程的四种解法， 自我尝试运用这些方法解方程x2-14x+ 24=0， 以解决本节课开始时提出的实际问题埋下伏笔 的.问题的解决， 又使学生再次体验到了数学的价值所 在.这样教学， 利于学生把握知识的生成过程、 知识的本 质、 知识间的相互联系， 也有利于培养学生自我探索、 体 验、 自主建构的学习主体性.正如李老师书中所指出的： 只有教师充分地发挥了教学的主体创造性， 才能确保有 效地、 充分地发挥和发展学生的主体创造性.二、 与在最后专家教师的教学智慧， 特别是课例中所体现出来的 教学技巧与专业基本功值得我们深入挖掘， 对于很多青 年教师来说， 与其在徘徊在低层次听课、 研课上难有精 进 ，不妨多试着反复观摩理解专家教师的经典课例， 也 许会是专业发展高原期的一种提升“ 特效药” 呢！参考文献：参考文献：1. 李庾南.自学议论引导教学论M.北 京：人民教 育出版 社， 2013.2. 李 庾 南，陈 育 彬.中 学 数 学 新 课 程 教 学 设 计30 例学 力 是 这 样 发 展 的M.北 京：人 民 教 育 出 版 社， 2007.3. 钟 启 泉.新 旧 教 学 的 分 水 岭J .基 础 教 育 课 程 (上） ， 2014(2).4. 刘 东 升.悠 然 神 会，妙 处 与 君 说-李庾南老师“平方根”课 例 赏 析J.中国数学教育， 2014(5).g初中 版 十 ？炎， ？ 25案例点评2016年 11月(二二） 拱桥问题拱桥问题， 建模求解建模求解例例1有一座拋物线形拱桥(如 图2)，正常水位时桥下水面宽度为 20m， 拱顶距水面4m.问题1:在正常水位的基础上， 当水位上升1m时， 桥 下水面的宽度减少多少？预设互动预设互动： 引导学生先独立分析问题后， 小组交流， 大组展示分享他们求解的思路， 特别是学生想到构建平 面直角坐标系的方法之后，就是生活问题的有效建模， 构建坐标系的技巧也需要深入追问.让学生在追问后展 示自己的思维.追问过程中注意引导不同学生参与问题 的理解， 使他们加深对问题的理解.教师在点评时注意 对从生活问题向数学问题的数学化过程作出评析， 并在 此基础上， 把数学建模的方法揭示出来， 以进一步排除 干扰， 凸显问题的本质.这里也把渐次呈现的PPT截图两 屏 ， 供分享(如图3和图4).图 2图 2虼 拱 桥 _ 二）有一座抛glim拱 桥 （ 如图）， 正常水位时桥卜河面图4图4问题2:为了保证过往船只顺利航行， 桥下水面的宽 度不得小于18m，水面在正常水位基础上上涨多少米 时， 就会影响过往船只航行？预设互动预设互动:首先要求学生独立思考， 圈点关键词句， 对应到构建好的直角坐标系上的图像， 思考问题的目标 或求解方向， 然后小组交流， 最后大组展示， 安排相关学 生到讲台上讲解思路， 并接触教师的答辩与追问， 引导 其他学生参与解答.这一环节预设下面的PPT， 截图如下(如图5).桥问题“有一座抛物线塱拱桥（ 如图）* 正常水位时桥下河而宽20 m，河而 距拱顶4 m.问题2 : 为保证船只顺利航行，桥F水面宽度不得小T18 m.水而在正常水S基础上上涨多少 米时,就会影图 5图 5同类练习： 图6是拋物线型拱桥， 当水面在n时， 拱顶 离水面2m， 水面宽4m， 水面下降1m， 水面宽度增加多少?图6图6设计意图设计意图： 该题只是简单变换了数据， 要求学生自 主构建坐标系， 对应上面例1的“ 问题2” 的求解思路.在 该题练习之后适当小结这类生活问题的求解流程:理解 题意选择模型简化求解回到情境.(三三） 拓展挑战拓展挑战， 建模应用建模应用的三边DA、AB、BC围成，隧 道 最 大A B 图 7图 7高度为4.9米 ，AB=10米 ，BC=2.4米 ，若有一辆高为4米、宽为2米的集装箱的汽车要通过隧 道 ， 为了使箱顶不碰到隧道顶部， 又不违反交通规则(汽 车应靠道路右侧行驶， 不能超过道路中线） ， 汽车的右侧 必须离开隧道右壁几米？预设互动预设互动： 这里在括号内的要求需要向学生解释， 防止有些学生不熟悉相关行驶规则.同时还要向学生解 释作为一道数学试题， 强调该集装箱的特殊要求也是为 了训练二次函数相关性质的应用， 不必严格对应生活常 识.在学生思考之后， 安排学生讲解他们的思考， 并渐次 呈现PPT(如图8 )， 思路贯通之后提出有没有其他的思考 方式， 即不同的建系方式（ 比如以AB所在直线为x轴 ， 线 段AB的垂直平分线所在直线为y轴).26 十 - ? 炎 ， ？ 初中版2016年 11月柘展挑战埋獅綱型如阁t有条双向公路隧逬，其横断- 丽由抛物线和矩膝irz)的 ： 边j) 丄 瓜 成，隧迅M大iS； 度;4.9 米，15=10 米，B02.4 米， 若有辆奸为4 米、宽为2 米的集裝箱 的汽车耍讪过轺道，为使筘顶不碰到隧d 边顶部，义不违反交迎规則（ 汽车应踣逍 路右側行驶.不他超过边路中浅 . 汽车 的心侧必须离幵隧道心窀几米？ _一 - 一-工哪儿？图 8例3如图9,小明的父亲在相 距2米的两棵树间拴了一根绳子， 给 他做了个简易秋千， 拴绳子的地方 离地面都是2.5米 ， 绳子自然下垂呈 拋物线状， 身高1米的小明距较近的MN B0.5米&2米-图 92.5米那棵树0.5米时， 头部刚好接触到绳子， 则绳子最低点距 离地面的距离为多少米？预设互动： 这是一道很多教辅资料上盛行的习题， 题中明确指出了所谓绳子下垂呈拋物线形， 故可以选用 拋物线模型， 近似求解.我们教学预设了三种不同的建 系方式， 截图如下(如图10)， 安排学生选择其中一种建 “ 系” 方式解答问题.(四） 文化“ 链” 接由该题的绳子形状想到数学史上的悬链线问题.链 接到达芬奇对于悬链线的思考， 并链接到两位伯努利 对该问题的思考与成就(预设PPT截图， 如图11) .预设解说预设解说:达芬奇去世170年之后， 久负盛名的(瑞 士)雅各布伯努利工作“ 一年之久” 试图确定悬链线性 质(即拋物线方程） ， 然而却被他弟弟约翰伯努利， 率先 解出这道难题， 而且仅仅牺牲了“ 整整一晚” 的休息时 间，而雅各布却已经与这道题持续搏斗了整整一年， 这 实在是一种“ 奇耻大辱” .二 、 教 学 立 意 的 进 一 步 解 读1. 重视教材重视教材“ 探究问题探究问题” 的课例研发的课例研发同行们应该知道， 本文课例中所关注的拋物线型拱 桥问题在不同版本的教材上都能找到原型.如果仅仅将 其当成一道例题讲评一下， 最多15分钟就能完成， 但是 对这类问题的结构、 解法， 特别是解题背后体现出的建 模思想、 建“ 系” 技巧都没有达到深刻理解的教学高度. 这也是我们重视教材“ 探究问题” 课例研发的教学追求.2. 通过系列变式通过系列变式， 促进学生做一题促进学生做一题、 会一类会一类、 通一片通一片在本节课中的例题探究环节， 不仅直接出示问题，重要的是通过系列变式， 使得问题的铺垫功能得到充分 发挥.比如教学环节(一） ， 热身练习中所训练的解读拋 物线解析式和相关线段长的问题， 都对应着后续例题中 的求解本质.例题中的不同设问， 也体现着“ 正、 反” 设问 的命题策略.最后的拓展探索题， 需要灵活建“ 系” ， “ 近 似” 求解， 关于“ 近似” 求解， 在最后的“ 链” 接文化环节， 作了进一步说明， 使得高层次学生辨明数学中的精确性 与“ 近似值” 之间的关系.参考文献参考文献：1. 周红娟.开 放 与 放 开 ： 概念生成与例题变式的教学 追 求 从 “ 三 角 形 内 角 和 ” 教 学 说 起 J.中学数学 (下 ） ，2016(8).2. 郑 毓 信 开 放 的 数 学 教 学 ” 新 探 J.中学数学月 刊 ，2007 (7).3. 郑毓信.善 于 举 例 J.人 民 教 育 ，2008(18).4. 郑毓信.善 于 提 问 J.人 民 教 育 ，2008(19).5. 郑毓信.善 于 优 化 J.人 民 教 育 ，2008(20).Z初 中 版 十 - ? 激 ， ？ 27