6 0 中学数 学 月刊 2 0 1 6年第 5期 一个解析几何问题的解法分析 解克勤 ( 江苏省南京市建邺 高级 中学2 1 0 0 1 7 ) 在 不少 试 卷 或 习题 的解 析 几 何 内 容 中都 选 择 了这样 一道 题 ( 或类 似 问题 ) ： 题 目 如 图 1 ， 直线 A B 为 圆 +y 一4 的切线， 且与 轴、 Y轴 正 半轴 交 于 A ， B 两 点 ， 求 A B 长 的最小值 在几 次 听课过 程 中 ， 发 现有 些 教师是这样讲评的： ) ， J 厂 A 图 1 解 设 切点 C ( x 。 ， y 。 ) ， 则 圆 的 切 线 方 程 为 X O TC +Y o Y =4 ， 且 i + 一4 当 O 时 ， z一 ； Z o 当 一 。 时 ， 一 于 是 A B 一 ( o ) + ( Y o ) 一 o 、 1 6 ( x南 oz + y )一一 Y Y 、 。， ； +： 由于部 分 学 生 对 过 圆 z 。 + y 。一 r 上 一 点 ( ， y ) 的切线 方 程为 。 TF +y 。 y r 。 的记忆 不太 清 楚 ， 教 师不 得不 补 充此过 程 ： 设 切点 为 C( x 。 ， y 。 ) ， 则 +y j 一4 ， k 一 0 因为 0 C_ L A B， 所以 是 A B 一一 ， A B 的直线方程 yo 为 yy 0 一一 ( 。 ) ， 化 简得 z 0 z+y o y一4 yo 这 里让 人产 生几 点 疑惑 ： 1 典 型例 题 的解 法 是 靠记 忆结 果 还是 要 学 会 分 析 ?2 同样 是 设 两 个未知数 ， 有没有其他解法或更好 的解法?3 若 将 圆变 为椭 圆该 如何 求解 ? 数 学解 题 的思 路 是 靠 对 问题 的分 析 而 产 生 ， 而不是靠单纯的记忆模仿 ， 否则题型变化后 ， 学生 将 找不 到应 对方 法解析 几 何是 用 代数 的方法 来 研究几何 问题 ， 常用方法为待定系数法本题是 最值问题 ， 只有变化的量才会有最值， 因此如何通 过 对 问题 的分 析找 到 引 起 变 化 的原 因 ， 抓 住并 设 好辅助变量， 得到长度的表达式是关键在此前 提下讲解本题时 ， 应该启发学生在 图形分析的基 础上 如何 设好 辅助 变量 ， 引 导学 生讨论 思 考 ， 得 出 方法 1 设两 个辅 助变 量 从图形看 ， 切线是关 键， 但切线 相关量不 知 道 要设 直 线 方 程 必 须设 两 个 辅 助 变 量 根 据 切 线特点， 有两种设法 ： 斜截式、 截距式 ； 先转化条件 ， 得到变量关 系 ， 构造 长 度可 让 学 生思 考 ： 如何 消 元 ， 如何构造长度与变量关系， 用什么方法求解? 解法 1 设 圆的切线 方程 为 y一 + b ( k存 在 ) ， 即 一Y+ b 一0 圆心 到切线 的距 离 一 一2 ， 则 一 4 ( k 。 +1 ) 当Y z0 时 ， z一 ； 当 o 时 ， 一6 ： g A B一 一 一4 解法2 设圆的切线方程为 +_ Y=l ( a b 0 ) ， 即 6 z+ a y a b一0 圆 心 到直 线 的距 离 d一 _2 一 ， 所 以 4 ， 故 A B一 4 从变化关系看 ， 所有问题都是由于切点 C的 变化而产生， 所 以设点 C坐标 ( 两个有限制条件 的 变量 )能够 解决 问题 ， 由此 产生 解 法 3 ， 即 为前 面 示例 解法 解 法 3 设 切点 为 C( x 。 ， y 。 ) ， 则 z +y 一4 ， 忌 = 因为 0 ( 7 上 A B， 所 以 忌 彻 一一 A B 的直线 方程 为 。 ：一业 ( z 。 ) ， 化 简得 o z+ y o y一4 当 3 ， 一0时 ， z一_ 兰 _ ； 当 z一0 时 ， 一三 于是A B一 ( ) + ( ) 一 6 2 2 一 8 y z 3， z o 0 ， z + “ 2 2 0 1 6年第 5期 中学数学月刊 6 1 2 设一个辅助变量 我们一般都希望所设未知数越少越好 ， 那么 可 不可 以 只设一 个 呢? 利用 切线 与半 径垂 直 的特 点 ， 结合 图形 引 导 学 生 思 考 半 径 与 A B 长 度 的 不 变 与变 的关 系 ， 探 讨设 角 的可 行性 解 法 4 设 A OC一 ， 则 A B0一 ， 一 2 因为 A B 与圆相切 ， 则 A B 上 ， 所 以 A C一 9 9 2 t a n ， B C ： ， 于 是 A B 一 2 t a n 0+ L d儿口 L dI l 口 厂 一 2 2 妇 n 0 t a n 0 3 结 合几 何条 件 。 能否 不设 变 量? 解析几何解题过程 中， 几何条件 的转化对计 算的难 易有时有决定作用 ， 数形结合非常关键 如 果将相切的条件用好 ， 可以得到以下解法 解 法 5 因为 A B 与 圆相 切 ， 所 以 A B 上 O C， 由射影 定理得 ( 21 2 。：AC B C一4 ， 于是 AB A C+B C 2 A C B C一4 ( 由于新教材中射影 定理内容弱化 ， 可由三角形相似推出) 考 虑 到本题 特 点 ， 也 可 以用 特殊 点法 求解 ： 点 C在第一象限圆弧 中点位置时取最小值 4 适 当变 式教 学 如 果将 圆变 为椭 圆 ， 以上 解 法都 适 用 吗? 哪 种 方法 更具 有 一般 性 ? 变 式 如 图 2 ， 直线 AB为椭 圆 + 一l 的 a D。 切 线 ， 且 与 z轴 、 Y轴 正 半 轴 交 于 A，B 两 点 ， 求 A B 长 的最 小值 通 过 分 析 发 现 ，变 式 后 除 了 解 法 1 、 2 ， 其 他 解 法 都 不 太 可 行 解法 1 、 2 更具有普遍性 解 设椭 圆的 切 线方 程 为 Y 一一2 2 一b + ， 代入 + 一1 ， 化简得 y 。 一 一 ， 】 图 2 ( a k + b ) + 2 a k m x + a ( 。一 b )一 0， 直 线与 椭 圆相切 时 ， A一4 a 尼 。 m。 一 4 ( n 。 是 。 + b 。 ) 口 ( 。 一b ) 一0 ， 化简 得 m 一a 忌 + 6 当 y =0时 ， 一 ； 当 o时 ， y =m 于是 一 ( ) + 2 一 a 2k 2 b2-+ 一 箸 -t- a 2 愚 。 + 口 + 6 。 F 一 n + 6 本题 也 可设截 距 式求解 在讲解解析几何 问题的过程 中， 适当的模式 化与记忆 的方法是可以的， 但不能 固化学生的思 维 教师要能够让学生在分析的基础上抓住变量 ， 用最 合适 的方法解 决 多样 的题 型才 是最 好 的教学 结果 ( 上接 第 5 3页) 丢 + 丢 (一 ) ” 故 质 点 能 达 点 ( o ， n ) 的 概 率 为 3 + 丢 ( 一 百1 ) ” 点 评 这 道题 的难 点 在 于“ 化 归 转化 ”思 想 的把握 根据质点的移动规律， 结合对等可能事件 发生条件的把握和互斥事件的认 知， 将概率 问题 转化为数列 问题 接着 ， 重点突破 ， 利用数列 的相 关知识化抽象为具体 ， 很好地解决 了“ 无 限”这个 抽象 的问题 3 有 限 无 限 思 想 之 “ 对 就 是 对 ， 错 就 是 错” 返 璞 归真 作为高 中数学思想之一 的“ 有限与无限” ， 在 结 论 的对 立 统 一 中 ， 认 知 数 学 的 严 密性 、 逻 辑性 数学是靠逻辑演绎向前推进 发展 的， 数学的严谨 性诠释了“ 对就是对 ， 错就是错”的严格性 ， 爱因斯 坦曾言 ： “ 数学之所以比一切其他学科受到尊重 ， 一 个理 由是 因为它的命题 是绝对 可靠 和无 可争辩 的 ”对于数学问题的解答， 严密性十分重要 ， 思维 的严密性 表现 在面 对数 学 问题 时依 循 严格 的逻辑 准则 审 题时 ， 对 于已知 条件 的分 析不 重不 漏 ， 合理 分类； 解题时， 运算的准确性精确无误 对于“ 有 限无 限”的 数 学 思 想 在 解 题 中 的应 用， 其处理方法主要有 ： ( 1 ) 将无限的问题化为有限 来求解 ， 是解决无限问题的必经之路； ( 2 ) 将有限的 问题化 为无限来解 决 ， 数学归纳 法就是 通过 对有 限 的研究来解决无限的问题； ( 3 ) 利用已经掌握 的无 限问题的结论来解决新 的无 限问题 ， 积累解决无 限 问题 的经验 ， 有利 于解 决新 的无 限问题 解 题 不可 能是 “ 无 源之水 、 无 本之 木 ” ， 有 限与 无限的思想在近几年的高考 中已经有很多具体 的 体现 随着高考对新增内容的深入考查 ， 必将加大 对这一思想的考查 在高考中， 反思数学思想的建 构过程 ， 在平时训练 中， 需要认识到的是在考查其 他数学思想和方法的过程 中同时考查有限与无限 的思想 ， 所 以我们 考 前应该 予 以重 视