向量数量积的坐标运算和度量公式教学设计 1、知识与技能 掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，度量公式的推导应用 （1）根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角 （2）运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直 （3）掌握平面内两点间的距离公式 2、过程与方法 通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法向量法与坐标法处理向量问题的意识 教学目标 3、情感、态度、价值观 通过本节内容的启发探研式学习，培养学生的动手能力和探索精神 教学重点 1、 向量数量积的坐标运算和度量公式 2、 向量垂直的坐标表示的充要条件 教学难点 平面向量数量积的两种形式的内在联系及灵活运用坐标运算与度量公式解决有关问题。 教学方法 设置情境，启发引导学生由旧知推新知，自主探索研究,使数学的学习成为再创造的过程，使学生树立学习数学的信心。 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 提问 1：如何用向量的长度、夹角反映数量积？又如何用数量积、长度来反映夹角？向量的运算律有哪些？ 由学生口答，教师板书向量数量积的定义及向量的运算律公式 复习提问 练习 2：已知| a|=1，| b|= ，(1)若 a b，求 ab；(2)若 a、 b 的夹角为，求| a+b|；(3)若 a b 与 a 垂直，求 a 与 b 的夹角. 练习 3：设 i， j 为正交单位向量，则 ii=_ 学生板书，教师分析，引导学生复习前课重点两个向量的数量积的运算性质 为数量积的坐标运算及度量公式的推导证明打好理论基础 jj=_ ij=_ 引入新课 及公式推导 向量的坐标表示，为我们解决向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便，那么向量的坐标表示，对数量积的表达方式会带来哪些变化呢？ 问题 1 如果已知 a=(x1, y1)， b=(x2, y2) ，怎样用 a 、 b 的坐标表示 ab 呢？ 推广 1：设 a=(x, y)，则| a|2=x2+y2或 (长度公式) 推广 2：设 A(x1, y1) 、 B(x2, y2)，则 (距离公式)学生独立进行每个公式的证明，教师个别指导 教师小结： （1）两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即在充分复习的基础上，培养学生用旧知解决新问题的能力，独立思考探索的意识 推广 3： cos =（ ）(夹角公式) (2) 向量的长度、距离和夹角公式 问题 2 内积为何值时说明两个向量是垂直的？ a b x1x2+y1y2=0 教师小结：向量垂直的充要条件 设 ， ，则 应用举例 例 1 设 a = (3, 1)，b = (1, 2)，求 ab，|a| ，|b|，和 教师演示第一问，强调先写公式，后计算，学生完成全题。 巩固向量数量积的坐标运算和度量公式的基本应用 例 2 已知 A(1, 2)，B(2, 3)，C( 2, 5)， 求证： ABC 是直角三角形 （1）教师引导，师生共同完成。 (2)教师提问：该题还有其他证明方法吗？ （提示可计算 、 、 ，然后用勾股定理验证） 运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决问题；培养学生灵活运用所学公式解决问题的能力 例 3 已知 A（1，2），B（3，4），C （5，0），求BAC 的值。 教师引导，师生共同完成。 应用夹角的坐标公式，揭示向量与三角的联系,训练学生的运算能力 例 4 已知 a=(4,2) ，求与 a 垂直的单位向量 教师讲解，学生归纳方法 课堂练习 练习 A 1（1），（2） 学生独立完成，教师指导 巩固新知 归纳小结 1、向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式 （1）用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角. （2）两向量垂直时，在表达方式上有一定技巧，如 与 总是垂直的。 2、平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用。 师生共同完成 使学生养成归纳总结的习惯，主动独立思考问题的能力 布置作业 练习 A 1（3）（4）,2,3 练习 B 1 学生独立完成 巩固新知 教学资源建议 教材、教参、多媒体、尺规