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直角三角形边角关系讲义 第 1 页 共 14 页 - 1 -直角三角形边角关系讲义直角三角形边角关系讲义( (初稿初稿) )一、一、概念部分概念部分 1、基本概念基本概念 正弦正弦:在 RtABC(如图) ,锐角 A 的对边与斜边的比叫做A的正弦正弦,记为Asin,caAA斜边的对边sin。余弦余弦:在 RtABC(如图) ,锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A的余弦余弦,记为Acos,cbAA斜边的邻边cos。正切正切:在 RtABC(如图) ,锐角 A 的对边与邻边的比叫做A的正切正切,记为Atan,ba AAA的邻边的对边tan。余切余切:在 RtABC(如图) ,锐角 A 的邻边与对边的比叫做A的余切余切,记为Acot,ab AAA的对边的邻边cot。2、巧记概念:按正弦正弦、余弦余弦、正切正切、余切余切的顺序记八个字:对斜邻斜对邻邻对对斜邻斜对邻邻对。3、根据正弦、余弦、正切、余切正弦、余弦、正切、余切的定义定义,在 RtRtABCABC 中,90C,有sinA=cosBsinA=cosB,sinB=cosAsinB=cosA ,tanA=cotBtanA=cotB,tanB=cotAtanB=cotA。 4、正弦、余弦、正切的值正弦、余弦、正切的值与梯子倾斜程度之间的关系: sinAsinA 的值越大,梯子越陡;的值越大,梯子越陡; cosAcosA 的值越小,梯子越陡;的值越小,梯子越陡; tanAtanA 的值越大,梯子越陡。的值越大,梯子越陡。 5、在RtABC 中,90C,a、b、c 分别是A、B、C的对边,那么caA sin, cbA cos, baA tan, abA cot可以变形为Acasin,Acbcos,Abatan或Aacsin,Abccos等等,在解题中可以根据条件正确选用。 6、注意注意: 、在初中,正弦正弦、余弦余弦、正切正切、余切的定义余切的定义都是在直角三角形直角三角形中给出的,不不 能能在任意三角形任意三角形中套用定义。 、sinA、cosA、tanA、cotA 分别表示正弦、余弦、正切、余切的数学表达符 号,是一个整体,不能理解为 sin 与 A、cos 与 A、tan 与 A、cot 与 A 的乘积。 sinA、cosA、tanA、cotA 是一个完整的符号,它表示A的正弦、余弦、正 切、余切,记号里习惯省去角的符号“” ,但当角用三个大写字母或数字表示 时,角的符号“”不能省略。例如:tanAtanA,tantanABCABC,tantan1 1 都是正确的。bacACB直角三角形边角关系讲义 第 2 页 共 14 页 - 2 -、正弦、余弦、正切、余切在直角三角形中它们分别表示对边与斜边、邻边 与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值,所以它是没有单位的,当锐角 A 确 定后,这些比值都是固定值。 、求某个角的正弦、余弦、正切、余切函数值时,需把该角放入适当的直角直角 三角形三角形中,在某些非直角三角形的问题,通过作垂线转化为直角三角形作垂线转化为直角三角形来解决。、已知直角三角形一锐角的某三角函数值就知道了某两边的比值,设未知数 可把 3 条边都可用一个未知数表示出来,这样就可以求出任何两条边的比值。 例例 1 1:在ABC 中,90C,AC=12,BC=5, (1)求 AB 的长;(2)求 sinA、cosA、tanA、cotA 的值;(3)求AA22cossin的值;(4)比较 sinA 与 cosB 的大小,tanA 与 cotB 的大小。 变式练习变式练习:1、在 RtABC 中,90C,a= 5 ,b=2,则 sinA= 。2、在 RtABC 中,90A,如果 BC=10,sinB=0.6,那么 AC= 。 例例 2 2、如图,在ABC 中,90C,AC=CB,AB=BD,求 tanD 的值。变式练习变式练习:1、已知ABC 中,90C,45A,BD 为 AC 边上中线,求ABDABDtansin和 的值。例例 3 3、 如图,在中,AD 是 BC 边上的高, 。(1)求证:ACBD(2)若,求 AD 的长。分析:分析:由于 AD 是 BC 边上的高,则有和,这样可以 充分利用锐角三角函数的概念使问题求解。解:解:(1)在中,有中,有BDACACAD BDADDACB,故costan(2)由可设 由勾股定理求得121812xDCBDBC 即ACBDACBD直角三角形边角关系讲义 第 3 页 共 14 页 - 3 -例例 4 4、如图,已知中90C, ,求的面积(用的三角函数及 m 表示)分析:分析:要求的面积,由图只需求出 BC。解:解:由tan21tan21 21tantan2mmmBCACSmBCBACmACBACACBCABC,练习题: 一、填空题: 1、在ABC 中,90C,a=4,b=3,则:sinA= cosA= tanA= cotA= sinB= cosB= tanB= cotB= 。 2、在 RtABC 中,90C,已知 a=4,c=5 则 sinB= sinA= tanA= 3、在ABC 中,90C,若 tanB=2,a=1,则 b= 。 4、ABC 中,90C,cosA=0.8746,则 sinB= 。5、RtABC 中,90C,tanA=552,则 sinB= 。6、在ABC 中,90B,AC 边上中线 BD=5,AB+BC=14,则ABC 的面积为 .7、 RtABC 中,90C, tanA=21,AB= 5 ,则 AC= ,BC= 。8、ABC 中,AB=AC,ABBC=21,则 sin、 2A= sinB= 。9、等腰三角形的腰长为 10cm,底边为 16cm,则它底角的正弦值是 .10、已知,如图,在ABC 中,30C,tanB=31BC= 10 ,则 AB 的长为 。 二、选择题 1、在ABC 中,90C,c=3,b=2,则 cosA 的值为( )A、 32B、31C、37D、352、在ABC 中,90C,AB=13,sinA=1312,则 BC=( )A、1 B、12 C、5 D、以上都不对ACB直角三角形边角关系讲义 第 4 页 共 14 页 - 4 -3、在ABC 中,90C,a、b、c 分别是A、B、C的对边,则( )A、Aabtan B、Acbsin C、coBca D、Aacsin4、在ABC 中,90C,且 cosA=53,则 sinB=( )A、43B、34C、54D、535、在ABC 中,90C,若 c=3b ,则 cosA 等于( )A、32B、322C、31D、3106、在 RtABC 中,如果各边的长度都扩大 2 倍,那么锐角 A 的四个三角函数值 ( ) 。 A、没有变化 B、都缩小 2 倍 C、都扩大 2 倍 D、不能确定如何变化 三、解答题:1、已知:1715cos ,为锐角,求的其它三角函数。2、已知一个三角形的三边的比为 7:24:25,求最小角的正弦、正切值。3、已知:如图 431,在矩形 ABCD 中,BEAC 于 E,AB=3,BC=4,CBE=,求 的四个三角函数值.4、已知:如图 432,在 RtABC 中,90C,D 是BC 中点,DEAB 于 E,tanB=21,AE=7,求 DE、BC 的长.二、特殊角的三角函数值二、特殊角的三角函数值直角三角形边角关系讲义 第 5 页 共 14 页 - 5 -1、初中阶段说的特殊角指的是90,60,45,30,0五个特殊角度。2、规定00sin,190sin,10cos,090cos。00tan,090cot90tan,0cot没有意义(或说不存在) 。3、 三角函数030456090sin02122 231cos123 2221 0tan03313不存在cot不存在313304、从上表中明确 sin、cos、tan、cot随角的变化而变化的规律:当 角 逐渐增大时,sin、tan逐渐增大, cos、cot逐渐减小。练习题: 一、选择题1、45tan260tan45tan60cos 的值等于( )A、232 B、232 C、223 D、232 2、ABC 中,若0cos231sin2 BA,则C 的度数是( )A、75 B、60 C、45 D、303、ABC 中,设22sin,21cosBA,则此三角形为( )A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形直角三角形边角关系讲义 第 6 页 共 14 页 - 6 -4、ABC 中,设23)90cos(sinBA,则ABC 为( )A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形 5、等腰ABC 中,AB=AC,120A,高 AD=3,则 AB+BC+AC 等于( )A、18 B、6312 C、318 D、3612 6、已知) 1sin2( 31sin42AA,则锐角 A 为( )A、30 B、90 C、30或90 D、60或90 二、填空: 1、已知1tan60tan,且为锐角,则cossin( ) 。2、若23sin,则锐角的补角是( ) 。3、在ABC 中,90C,若45A,则BAsintan=( ) 。4、在ABC 中,90C,若8,30cBA,则面积S=( ) 。5、在ABC 中,90C,若22sinA,则BAcostan=( ) 。三、计算:1、(2cos600- 45tan230cos90sin)2) 130(sin2、
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