线性代数矩阵的初等变换与线性方程组习题课 (1) 对调两行(对调i与j两行记为 )(2) 以数 乘第i行的所有元素(记为 )(3)把某一行所有元素的k倍分别加到另一行对应的元 素上去(第j行k倍加到第i行上去,记 ).一、矩阵的初等变换 2、矩阵A与B 等价 3、矩阵的化简:可化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形。1.任一矩阵都可经过初等行变换化成行阶梯矩阵； 2. 任一矩阵都可经过初等行变换化成行最简矩阵； 3.任一矩阵都可经初等变换化成标准型 注:4. A的标准型中的r由A确定.1、定义（一）内容概要 2.矩阵秩的性质(4)行阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数设A: 型矩阵,则:(5)即矩阵经初等变换后其秩不变二、矩阵的秩及其求法 1、定义： A的秩就是A中最高阶非零子式的阶数.记作R(A)=r.3.用矩阵的初等变换求矩阵的秩一般方法： v1）将A用初等变换化为行阶梯形矩阵；v2）R(A)等于A的行阶梯形矩阵的非零行数。n 阶方阶A的秩R( A )= n方阵A可逆. 几个等价命题：CH3 初等变换与方程组初等变换与方程组三、初等矩阵1、定义：由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为 初等矩阵.分为三类,分别记为Eij、Ei（k）、 Eij（k）. 2、初等矩阵的性质：1）初等矩阵都是可逆矩阵,并且其逆矩阵还是初等矩阵 ;2）对对A施行一次初等行变换变换 的结结果等于用一个相应应的 初等阵阵左乘矩阵阵A;对对A施行一次初等列变换变换 的结结果等于 用一个相应应的初等阵阵右乘矩阵阵A.【推论1】设A是可逆矩阵,则：【推论2】两个 型矩阵A、B等价的充要条件是:存 在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B. 并且：R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)3、重要结论：A=P1P2Pk.【定理1】矩阵A可逆 存在有限个初等阵P1,P2,Pk，使:CH3 初等变换与方程组初等变换与方程组四、初等变换的应用1、用初等变换求逆矩阵的方法: 1)构造矩阵:(A E);2)做初等行变换注:也可用初等列变换求可逆矩阵的逆矩阵:2.用初等变换解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的一般 方法:五、线性方程组的解有解无解R(A)=n有唯一解R(A) n有无穷多解解非齐次线性方程组Ax=b的一般步骤为：(2) 对增广矩阵B施行初等行变换化为行最简矩阵；(3)由行最简矩阵写出同解方程组，取定自由未知量写出方程组通解；(1) 对增广矩阵B施行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，观察R(A)= R(B) ，若R(A)= R(B) ，转向2）步；若R(A)R(B)，则方程组无解，解题完毕；AX=0 有非零解 r(A)n ；设矩阵方程为：，其中为A的伴随矩阵，且 求矩阵X. 即：而解：由于利用初等变换易得：例1（二）例题分析 例2 已知矩阵的秩为2, 求 t 的值.解： r(A)=2 3 t =0, 即 t =3例3 设线性方程组的系数矩阵为A,三阶矩阵BO,且AB=O,试求a的值.【解】由AB=O, BO得: 方程组Ax=0有非零解,R(A)3例4解例5 设A是n阶矩阵,且A2=E, 证明R(A+E)+R(A-E)=n所以R(A+E)+R(A-E)=n证明：由A2=E得：练习：设A为n阶方阵,E为n阶单位阵.满足A2+5A-4E=0 证明:( A-3E)可逆;并求( A-3E)-1习题选讲解(1)：解(2)：证：解：P80-21证：例题 设A为m n阶矩阵，证明:证：CH3 初等变换与方程组初等变换与方程组三、自测题(一)填空题48CH3 初等变换与方程组初等变换与方程组(二)选择题3.若一个n阶方阵A的行列式值不为零，则对A进行若干 次矩阵的初等变换后，其行列式的值 (A)保持不变; (B)可以变成任何值; (C)保持不为零; (D)保持相同的正负号CH3 初等变换与方程组初等变换与方程组5.设A,B都是n阶非零矩阵,且AB=0,则A和B的秩是( ) (A)必有一个等于0 (B)都小于n (C) 一个小于是n,一个等于n (D)都等于nCH3 初等变换与方程组初等变换与方程组 7.当A等于( )时,8.设A为n阶可逆矩阵,下列( )恒正确.CH3 初等变换与方程组初等变换与方程组(三)计算题CH3 初等变换与方程组初等变换与方程组且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E 求X.(四)证明题1.设A为n阶方阵,E为n阶单位阵.满足A2+5A-4E=0 证明:( A-3E)可逆;并求( A-3E)-12.设A为n阶非零方阵;A*是A的伴随阵,AT是A的转置矩阵 证明:当AT=A*时,A可逆.作业：及时完成作业：及时完成CH3CH3大作业大作业下节内容：下节内容：CH41CH41请大家做好预习！请大家做好预习！