为了研究事物的运动发展规律，必须建立起描写运动 变化规律的函数关系。在大量的实际问题中遇到稍为复杂的 一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系（或函 数） 往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变量和它们 的导数（或微分）间的关系式。这种联系着自变量、未知量联系着自变量、未知量 及其导数（或微分）的关系式，称之为微分方程，及其导数（或微分）的关系式，称之为微分方程，其中导数 或微分是不可少的。第六节 几类简单的微分方程微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模 型型。其实在自然科学和科学技术的其它领域中，例如化学 、生物学、自动控制、电子技术等等，都提出了大量的微 分方程问题。同样在社会科学的一些领域里也存在着微分 方程问题。在实际问题中所遇到的微分方程大都比较复杂，因 此研究微分方程理论及其解法就是我们面临的一个重要 问题。关于这方面的知识，在第七章中我们还要作较为 系统的介绍，本节只讨论几类能直接利用积分方法求解 的简单微分方程及其应用。这里我们只研究自变量仅有一个的微分方程，即常 微分方程。常微分方程和数学的其它分支有密切的联系 ，它们往往互相联系、互相促进。例如几何学就是常微 分方程理论的丰富源泉和有力工具。考虑到常微分方程 与实际联系比较密切，我们应该注意它的实际背景和应 用。解一、几个基本概念,2Cxy+=即解两次积分可得根据题意，还应满足两个附加条件：代入上式可得，上述两例虽然都简单，但都列出了含有未知 函数导数的关系式(1)和（2）.微分方程: 凡表示未知函数、未知函数的导数或微分与 自变量之间关系的方程叫微分方程.例都是微分方程注: 定义中未知函数的导数(或微分)是不可少的微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数.常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程；偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程.一阶微分方程高(n)阶微分方程形如分类2:按微分方程的阶数来分分类1:按微分方程中含未知函数的情形来分分类3: 线性与非线性微分方程.例如，为一阶线性微分方程.阶线这数分类4: 单个微分方程与微分方程组.不是线性方程的方程称为非线性方程。例如微分方程的解:能使微分方程成为恒等式的函数. 微分方程的解的分类：称为该n阶微分方程的通解。这里，两个任意常数是独立的，是指他们不能通过运 算合并成一个。把满足定解条件的解，称为该方程的一个特解.初始条件:为确定通解中任意常数给出的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.特解的图象: 是一条曲线，叫微分方程的积分曲线.通解的图象: 积分曲线族.微分方程的解的图形：解所求特解为能写成形如 .解法(1)两边积分得二. 可分离变量的一阶微分方程的微分方程，称为可分离变量的方程。（2）确定的隐函数就是（1）的解。 例1 求微分方程解y0时，分离变量得两端积分例3 设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成 正比,并设降落伞离开跳伞塔时 (t =0)速度为零.求降落 伞下落速度与时间的函数关系.解: 设降落伞下落速度为v(t)，降落伞在空中下落时， 同时受到重力 P 与阻力R 的作用。重力大小为 mg ，方向 与 v 一致；所受阻力大小为kv（k为比例系数），方向与 v 相反，从而降落伞所受外力为：按题意，初始条件为：根据牛顿第二定律 F = ma (其中 a 为加速度)，得函数 v( t ) 应满足的方程为：(1)方程（1）时可分离变量的，分离变量后得：两端积分即：或：（2）这就是方程（1）的通解。于是所求特解为：（3）的微分方程，称为齐次微分方程.解法作变量代换代入(3)得可分离变量的方程三、一阶齐次微分方程例1求方程的通解：解得（是齐次方程）方程变为：即：u0时，分离变量得积分，得经检验知：利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为形如方程（1）为齐次的.方程（1）为非齐次的.四.一阶线性微分方程的方程叫一阶线性微分方程.齐次方程(2)的通解为1. 线性齐次方程一阶线性微分方程(1)的解法使用分离变量法：2. 线性非齐次方程讨论两边积分与齐方程通解相比可见 :因此求非齐次线性微分方程的通解常用常数变易法即把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 .作变换，令的通解则积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次 方程通解非齐次方程特解解例1由分离变量法易得对应的齐次线性微分方程的通解为再用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解。 设其通解为：则代入原方程并化简得从而将它代入（*）式，得原方程的通解例2解此方程是非齐次线性方程令：其中：方程的通解为：的方程，称为伯努利(Bernoulli)方程方程为非线性微分方程，但通过变量的代换，方程为线性微分方程.形如可把它化为线性的.求出通解后，将 代入即得代入上式得例3 解方程化为令为线性方程通解为:原方程通解为:综上所述，在微分方程求解中，做变量代换是最 常用的方法，具体分析，作适当变量代换后，将方程化 为可分离变量的方程或是化成已知求解步骤的方程，以 便求其通解。在解方程时，从积分角度来说，自变量与未知函数的 地位是相同的，只要求得他们的关系式，就算原则上解 决了求解问题。因此，解题时，可以改变自变量和未知 函数的地位，以达到求解目的。例4解即（非齐次方程）令得前面讨论了一阶微分方程的解法，下面将介 绍高阶微分方程的解法。二阶及二阶以上的微分方程叫高阶微分方程.五、可降阶的高阶微分方程一般说来，方程的阶数越高，求解越复杂。有 些高阶微分方程，我们可通过代换，将它化成较低 阶的方程求解.对于微分方程我们可以通过两边逐次积分把微分方程降阶，从而求得微分 方程的通解。(1)方程（1）两边积分得：两边再积分得：如此下去，便可以得到方程(1)的通解。1、 型的微分方程求微分方程的通解。解对上方程接连三次积分得：例1代入原方程, 得解法：特点：关于变量x，P的一阶方程将 两边积分可得通解.2、 型不显含未知函数则解 该方程不显含y，所以令此时代入原方程得：或求微分方程满足初始条件例3的特解。两边积分得：即把初始条件 代入得：所以再积分得：把初始条件 代入得：于是所求的特解为：求得其解为原方程通解为特点：解法：3、 型例5求微分方程的通解。解该方程不明显的含自变量x，设则代入方程得：在时，约去p并分离变量得两边积分得即或再分离变量并积分得或解代入原方程解线性方程, 得两端积分,得原方程通解为例 6六、微分方程应用举例用微分方程解决实际问题的一般步骤：（1）根据问题的实际背景，利用数学知识，建立 微分方程与定解条件；（2）根据方程的类型，用适当的方法求出方程的 通解，并根据定解条件确定特解；（3） 对所得的结果进行具体分析，解释它的实际 意义，如果它与实际相差甚远，那么就应修改模型， 重新求解。上述三部中关键和难点是第一步。例1.（放射性同位素的蜕变与考古问题）根据原子物理学理论，放射性同位素碳-14在t时 刻的蜕变速度与该时刻碳-14的含量成正比.活着的生 物通过新陈代谢不断地摄取碳-14，使得生物体内的 碳-14与空气中的碳-14百分含量相同。生物死亡时体 内碳-14的含量为x0,试求生物死亡时体内碳-14含量随 时间t的变化规律。例2.（减肥问题）减肥的问题实际上是减少体重的问题。假定某人 每天的饮食可产生A J热量，用于基本新陈代谢所消 耗的能量为B J，用于锻炼所消耗的热量为C J/kg。为 简单记，假定增加或减少体重所需热量全由脂肪提供 ，脂肪的含热量为D J/kg。求此人体重随时间的变化 规律。解 （1）建立微分方程与定解条件，设t时刻（单位：天 ）的体重为w(t)，根据热量平衡原理，在dt时间内，人体热量的改变量=吸收的热量-消耗的热量 即则得方程设开始减肥时刻t=0,体重为于是初始条件（2）解微分方程。由分离变量法求得通解代入初始条件可得特解（3）讨论例3. 生物种群繁殖的数学模型1.Malthus模型1798年，Malthus认为，一种群中个体数量的增长率 与该时刻种群的个体数量成正比。设x(t)表示该种群在t时刻个体的数量。则其增长率为或相对增长率为其中常数r=B-D, B、D分别为出生率和死亡率。求解方程得注：在短时期内，这个模型与实际吻合。但当t时与实 际不符合。2. Logistic模型1838年，Verhulst指出，导致上述不符合现实情况的主 要原因是malthus模型没有考虑“密度制约因素”。并认为种 群个体数目的相对增长率不应是一个常数r。应该是r乘以 密度“制约因子”于是，Verhulst提出了下述的Logistic模型其中k称为环境的容纳量。初始条件仍为解这个定解问题得