数理统计问题：如何选取样本来对总体的种种统计特征作出判断。参数估计问题：知道随机变量（总体）的分布类型，但确切的形式不知道，根据样本来估计总体的参数，这 类问题称为参数估计（paramentric estimation）。参数估计的类型点估计、区间估计 参数的估计量 设总体的分布函数为F(x,)（未知），X1，X2，Xn为样本，构造一个统计量 来估计参数，则称 为参数的估计量。将样本观测值 代入 ，得到的值 称为参数的估计值。 点估计（point estimation) ：如果构造一个统计量来作为参数的估计量，则称为参数的点估计。 区间估计（interval estimation） ：如果构造两个统计量而用 来作为参数可能取值范围的估计，称为参数的区间估计。参数的点估计 点估计的方法：数字特征法、矩法、极大似然法。 样本的数字特征法：以样本的数字特征作为相应总体数字特征的估计量。以样本均值 作为总体均值 的点估计量，即点估计值 点估计值 以样本方差 作为总体方差 的点估计量，即例1 一批钢件的20个样品的屈服点（t/cm2）为4.98 5.11 5.20 5.20 5.11 5.00 5.35 5.61 4.88 5.27 5.38 5.48 5.27 5.23 4.96 5.15 4.77 5.35 5.38 5.54试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。解 由数字特征法，得屈服点及方差的估计值为 定义 设 为随机变量，若 存在，则称 为 的 阶原点矩，记作 ；若 存在，则称 为 的 阶中心矩，记作 样本的 阶原点矩，记作 样本的 阶中心矩，记作 阶矩的概念 参数的矩法估计 矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即 若总体X的分布函数中含有m个参数1， 2， ， m，总体的k阶矩Vk或Uk存在，则或 参数的矩法估计 或 得m个方程构成方程组，解得的 即为参数的矩估计量，代入样本观测值，即得参数的矩估计值。 矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即 例2 设某总体X的数学期望为EX=，方差DX=2，X1，X2，Xn为样为样 本，试试求和2的矩估计计量。解 总体的k阶原点矩为 样本的k阶原点矩为 由矩法估计，应有 所以 结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差的矩估计量分别为样本均值、样本方差，即估计值为 例3 设X1，X2，Xn为为总体X的样样本，试试求下列总总体分布参数的矩估计计量。解 （1）由于 （2）由于 所以参数和2的矩估计量为 所以得参数p的矩估计量为 例3 设X1，X2，Xn为为总体X的样样本，试试求下列总总体分布参数的矩估计计量。解 （3）由于 所以参数的矩估计量为 可见：同一个参数的矩估计量可以不同。所以统计量 存在“优、劣”之分。 或 一阶矩 二阶矩 例4 设总体X服从1， 2上的均匀分布， 12，求1， 2的矩估计计量， X1，X2，Xn为X的一个样本。解 由于 所以由矩法估计，得 解得 区间长度的矩估计量为 解 由于 所以由矩法估计，得 解得 所以，参数 的矩估计量为 例5 对容量为n的子样，求下列密度函数中参数 的矩估计量。参数的极大似然估计法 思想：设总体X的密度函数为f(x,)，为未知参数，则样本（X1,X2,Xn）的联合密度函数为令 参数的估计量 ，使得样本（X1,X2,Xn）落在观测值 的邻域内的概率L()达到最大，即则称 为参数的极大似然估计值。 参数的极大似然估计法 求解方法： （2）取自然对数 其解 即为参数的极大似然估计值。 （3）令 （1）构造似然函数 若总体的密度函数中有多个参数1，2，n，则将第（3）步改为解方程组即可。 例6 假设（X1，X2，Xn）是取自正态总体N(,2)的样本，求和2的极大似然估计量。解 构造似然函数 取对数 续解 求偏导数，并令其为0 解得 所以，2的极大似然估计计量为为 与矩估计量相同估计量的评选标准 无偏性、有效性、相合性*、充分性与完备性* 无偏估计量：设 是 的估计量，如果 则称 是 的无偏估计量（unbiased estimation）例题 设总体的数学期望EX和方差DX都存在，证明：样本均值 、样本方差 分别是EX、DX的无偏估计。例题 设总体的数学期望EX和方差DX都存在，证明：样本均值 、样本方差 分别是EX、DX的无偏估计。证明 证明 有 效 性 设 是 的无偏估计量，当样本容量n固定时，使达到最小的 称为 的有效估计比较：若 ，则 比 有效。 例如 及 （其中 ）都是EX的无偏估计，但 比 有效。例如 及 （其中 ）都是EX的无偏估计，但 比 有效。因为 算术平均几何平均 小 结 参数估计的点估计方法 数字特征法：以样本均值、方差作为总体期望、方差的估计量。矩法估计：以样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量。 或 作业 P130 1，2，4预习 第三节 区间估计区间估计的思想 点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量，区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个区间范围。引例 设某厂生产的灯泡使用寿命XN（，1002），现随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370，1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右，但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？如果要求有95%的把握判断在1473.4左右，则由U统计量可知由查表得 置信水平、置信区间 设总体的分布中含有一个参数，对给定的，如果由样本（X1，X2，Xn）确定两个统计量1（ X1，X2，Xn ）， 2（ X1，X2，Xn ），使得P1 2=1- ，则称随机区间（ 1 ， 2 ）为参数的置信度（或置信水平）为1- 的置信区间。1置信下限 2置信上限几点说明 1、参数的置信水平为1-的置信区间（ 1， 2）表示该区间有100（1-）%的可能性包含总体参数的真值。2、不同的置信水平，参数的置信区间不同。 3、置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低；相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降低，置信区间会较长。一般：对于固定的样本容量，不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也高（1- 大）。如果不降低可靠性，而要缩小估计范围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。正态总体方差已知，对均值的区间估计 如果总体XN（，2），其中2已知， 未知，则取U-统计量 ，对做区间估计。对给定的置信水平1-，由确定临界值（X的双侧分位数）得的置信区间为将观测值 代入，则可得具体的区间。例1 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个，测得直径为（单位：cm）14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1（1）试求该天产品的平均直径EX的点估计；（2）若已知方差为0.06，试求该天平均直径EX的置信区间：=0.05；=0.01。解 （1）由矩法估计得EX的点估计值为 续解 （2）由题设知XN（，0.06） 构造U-统计量，得EX的置信区间为 当=0.05时，而 所以，EX的置信区间为（14.754，15.146）当=0.01时，所以，EX的置信区间为（14.692，15.208）置信水平提高，置信区间扩大，估计精确度降低。 例2 假定某地一旅游者的消费额X服从正态分布N（，2），且标准差=12元，今要对该地旅游者的平均消费额EX加以估计，为了能以95%的置信度相信这种估计误差小于2元，问至少要调查多少人？ 解 由题意知：消费额XN（，122），设要调查n人。由 即 得 查表得 而 解得 至少要调查139人正态总体方差未知，对均值的区间估计 如果总体XN（，2），其中，均未知 由 构造T-统计量 当置信水平为1-时，由 查t-分布表确定 从而得的置信水平为1-的置信区间为 例3 某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。解 由题设可知：口杯的重量XN（，2） 由抽取的9个样本，可得 由 得 查表得 全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54） P127例5与P126例3的比较： 解 由题设可知：平均消费额XN（，2） 平均消费额的置信区间为（75.0464，84.9536） 由 得 查表得 估计误差为 精确度降低 原因：样本容量减少 在实际应用中，方差未知的均值的区间估计较有应用价值。 练习 假设某片居民每月对某种商品的需求量X服从正态分布，经调查100家住户，得出每户每月平均需求量为10公斤，方差为9，如果某商店供应10000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计（=0.01），并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满足需求？ 解 由题设可知：平均需求量XN（，2） 平均消费额的置信区间为（9.229，10.771） 由 查表得 续解 要以99%的概率满足10000户居民对该种商品的需求，则最少要准备的量为（公斤） 最多准备 （公斤） 正态总体均值已知，对方差的区间估计 如果总体XN（，2），其中已知，2未知 由 构造2-统计量 查2- 分布表，确定双侧分位数 从而得2的置信水平为1-的置信区间为 例题 已知某种果树产量服从（218，2），随机抽取6棵计算其产量为（单位：公斤）221，191，202，205，256，236试以95%的置信水平估计产量的方差。解 计算 查表 果树方差的置信区间为 正态总体均值未知，对方差的区间估计 如果总体XN（，2