2019 届高考高三数学(理)一轮复习同步强化训练1规范答题强化练（三）规范答题强化练（三）数数 列列(45(45 分钟分钟 4848 分分) )1.(12 分)已知正项等比数列an满足 a1,2a2,a3+6 成等差数列,且=9a1a5. (1)求数列an的通项公式.(2)设 bn=an,求数列bn的前 n 项和 Tn.【解析】(1)设正项等比数列an的公比为 q(q0),由= 9a1 a5 = 9,(2 分)故 q2 = = 9,(3 分)解得 q=3,因为 q0,所以 q=3.又因为 a1, 2a2, a3+6 成等差数列,所以 a1+(a3+6)-4a2=0,解得 a1=3,(4 分)所以数列an的通项公式为 an=3n .(6 分)(2)依题意得 bn=(2n+1)3n,则Tn=331+532+733+(2n+1)3n,(7 分)3Tn=332+533+734+(2n-1)3n+(2n+1)3n+1,由-得 2Tn=(2n+1)3n+1-2(32+33+3n)-32 =(2n+1)3n+1-2-32=2n3n+1,(10 分)2019 届高考高三数学(理)一轮复习同步强化训练2所以数列bn的前 n 项和 Tn=n3n+1.(12 分)2.(12 分)已知数列an满足 a1=1,an+1=2an+3,nN*.(1)求证:数列an+3是等比数列.(2)求数列nan的前 n 项和 Sn.【解析】(1)=2,(nN*), 因此数列an+3是等比数列,且公比为 2. (4 分)(2)由(1)及题设可知,数列an+3是首项为 4,公比为 2 的等比数列,因此 an+3=42n-1=2n+1,于是 an=2n+1-3;所以 nan=n2n+1-3n.(6 分)设 bn=n2n+1,cn=-3n,并设它们的前 n 项和分别为 Tn,Rn.则 Tn=122+223+324+n2n+1,(8 分)所以 2Tn=123+224+(n-1)2n+1+n2n+2 -得 Tn=-22-23-24-2n+1+n2n+2=n2n+2-4=(n-1)2n+2+4,(10 分)又 Rn=n=- n2- n,故 Sn=Tn+Rn=(n-1)2n+2- n2- n+4.(12分)3.(12 分)设数列an的前 n 项和为 Sn,已知 Sn=2an-1(nN*).(1)求数列an的通项公式.(2)若对任意的 nN*,不等式 k(Sn+1)2n-9 恒成立,求实数 k 的取值范围.【解析】 (1)令 n=1,S1=2a1-1=a1,2019 届高考高三数学(理)一轮复习同步强化训练3解得 a1=1.(2 分)由 Sn=2an-1,有 Sn-1=2an-1-1, 两式相减得 an=2an-2an-1,化简得 an=2an-1(n2),所以数列an是以首项为 1,公比为 2 的等比数列,所以数列an的通项公式 an=2n-1.(4 分)(2)由 k(Sn+1)2n-9,整理得 k,令 bn=,则 bn+1-bn=-=, n=1,2,3,4,5 时,bn+1-bn=0, 所以 b1b7b8. 因为 b5=b6=, 所以 bn的最大值是 b6=.所以实数 k 的取值范围是.(12 分)4.(12 分)数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn=2an-a1,且 a1,a3+1,a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式.(2)设 bn=log2a1+log2a2+log2an,求使(n-8)bnnk 对任意 nN*恒成立的实数 k 的取值范围.【解析】 (1)由题意,Sn=2an-a1,则当 n2 时,Sn-1=2an-1-a1,两式相减得 an=2an-1(n2),所以 a2=2a1,a3=2a2=4a1,a4=2a3=8a1,又a1,a3+1,a4成等差数列,所以 2(4a1+1)=a1+8a1,解得 a1=2,(4 分)所以数列an是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,所以 an=2n.(6 分)2019 届高考高三数学(理)一轮复习同步强化训练4(2)bn=log2a1+log2a2+log2an=1+2+3+n=,由(n-8)bnnk对任意 nN*恒成立,知k 对 nN*恒成立,(8 分)设 cn= (n-8)(n+1)= (n2-7n-8),则当 n=3 或 4 时,cn取得最小值,为-10,所以 k-10.(12 分)