MATLAB数据分析与多项式计算 1 数据统计处理 2 数据插值 3 曲线拟合 4 离散傅立叶变换 5 多项式计算1 数据统计处理 1.1 最大值和最小值 MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值 的函数分别为max和min，两个函数的调用格 式和操作过程类似。 1求向量的最大值和最小值 求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式 ，分别是： (1) y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如 果X中包含复数元素，则按模取最大值。(2) y,I=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值 的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模取最 大值。 求向量X的最小值的函数是min(X)，用法和max(X)完 全相同。 例-1 求向量x的最大值。 命令如下： x=-43,72,9,16,23,47; y=max(x) %求向量x中的最大值 y,l=max(x) %求向量x中的最大值及其该元素的 位置2求矩阵的最大值和最小值 求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式，分别 是： (1) max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元 素是矩阵A的第i列上的最大值。 (2) Y,U=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量 记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大 值的行号。(3) max(A,dim)：dim取1或2。dim取1时，该 函数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数 返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i 行上的最大值。 求最小值的函数是min，其用法和max完全相同 。 例-2 分别求34矩阵x中各列和各行元素中的最 大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。3两个向量或矩阵对应元素的比较 函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用 格式为： (1) U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与 A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较 大者。 (2) U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩 阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。 min函数的用法和max完全相同。 例-3 求两个23矩阵x, y所有同一位置上的较大元素构成的新矩 阵p。1.2 求和与求积 数据序列求和与求积的函数是sum和prod，其 使用方法类似。设X是一个向量，A是一个矩 阵，函数的调用格式为： sum(X)：返回向量X各元素的和。 prod(X)：返回向量X各元素的乘积。 sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的 第i列的元素和。prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的 第i列的元素乘积。 sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于 sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其 第i个元素是A的第i行的各元素之和。 prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于 prod(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其 第i个元素是A的第i行的各元素乘积。 例-4 求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的 乘积。1.3 平均值和中值 求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的函数是 median。两个函数的调用格式为： mean(X)：返回向量X的算术平均值。 median(X)：返回向量X的中值。 mean(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术 平均值。 median(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中 值。 mean(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当dim 为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术 平均值。 median(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于median(A)；当 dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的 中值。 例-5 分别求向量x与y的平均值和中值。1.4 累加和与累乘积 在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得 向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式 为： cumsum(X)：返回向量X累加和向量。 cumprod(X)：返回向量X累乘积向量。 cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向 量。 cumprod(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积 向量。 cumsum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumsum(A)； 当dim为2时，返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累加 和向量。 cumprod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumprod(A) ；当dim为2时，返回一个向量，其第i行是A的第i行的累 乘积向量。 例-6 求s的值。1.5 标准方差与相关系数 1求标准方差 在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。 对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A) 返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标 准方差。std函数的一般调用格式为： Y=std(A,flag,dim) 其中dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当 dim=2时，则求各行元素的标准方差。flag取0或1，当flag=0 时，按1所列公式计算标准方差，当flag=1时，按2所列公 式计算标准方差。缺省flag=0，dim=1。 例-7 对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。2相关系数 MATLAB提供了corrcoef函数，可以求出数据 的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格式为 ： corrcoef(X)：返回从矩阵X形成的一个相关系 数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一 样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后 求它们的相关系数。 corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与 corrcoef(X,Y)的作用一样。例-8 生成满足正态分布的100005随机矩阵， 然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5 列随机数据的相关系数矩阵。 命令如下： X=randn(10000,5); M=mean(X) D=std(X) R=corrcoef(X)1.6 排序 MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数返回 一个对X中的元素按升序排列的新向量。 sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其调 用格式为： Y,I=sort(A,dim) 其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，则 按列排；若dim=2，则按行排。Y是排序后的矩阵， 而I记录Y中的元素在A中位置。例-9 对二维矩阵做各种排序。 2 数据插值 2.1 一维数据插值 在MATLAB中，实现这些插值的函数是interp1，其调用格式 为： Y1=interp1(X,Y,X1,method) 函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的 已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量 ，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。 method是插值方法，允许的取值有linear、nearest、 cubic、spline。注意：X1的取值范围不能超出X的给定范围， 否则，会给出“NaN”错误。 例-10 用不同的插值方法计算在/2点的值。 MATLAB中有一个专门的3次样条插值函数 Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函 数Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。例-11 某观测站测得某日6:00时至18:00时之间每隔2小时的室 内外温度()，用3次样条插值分别求得该日室内外6:30至 17:30时之间每隔2小时各点的近似温度()。 设时间变量h为一行向量，温度变量t为一个两列矩阵，其中第 一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下： h =6:2:18; t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30; XI =6.5:2:17.5 YI=interp1(h,t,XI,spline) %用3次样条插值计算2.2 二维数据插值 在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数 interp2，其调用格式为： Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method) 其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z 是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向量 或标量，描述欲插值的点。Z1是根据相应的插值方 法得到的插值结果。 method的取值与一维插值函数 相同。X,Y,Z也可以是矩阵形式。 同样，X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范围，否 则，会给出“NaN”错误。例-12 设z=x2+y2，对z函数在0,10,2区域内进行插值。 例-13 某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。 用x表示测量点0:2.5:10(米)，用h表示测量时间0:30:60(秒)， 用T表示测试所得各点的温度()。试用线性插值求出在一 分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米处的温度TI。 命令如下： x=0:2.5:10; h=0:30:60; T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41; xi=0:10; hi=0:20:60; TI=interp2(x,h,T,xi,hi)3 曲线拟合 在MATLAB中，用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系 数，再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函 数近似值。 polyfit函数的调用格式为： P,S=polyfit(X,Y,m) 函数根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及 其在采样点的误差向量S。其中X,Y是两个等长的向量，P是 一个长度为m+1的向量，P的元素为多项式系数。 polyval函数的功能是按多项式的系数计算x点多项式的值，将 在5.3节中详细介绍。例-14 已知数据表t,y，试求2次拟合多项式p(t)，然后求 ti=1,1.5,2,2.5,9.5,10各点的函数近似值。4 离散傅立叶变换 4.1 离散傅立叶变换算法简要 4.2 离散傅立叶变换的实现 一维离散傅立叶变换函数，其调用格式与功能 为： (1) fft(X)：返回向量X的离散傅立叶变换。设X 的长度(即元素个数)为N，若N为2的幂次，则 为以2为基数的快速傅立叶变换，否则为运算 速度很慢的非2幂次的算法。对于矩阵X， fft(X)应用于矩阵的每一列。(2) fft(X,N)：计算N点离散傅立叶变换。它限定 向量的长度为N，若X的长度小于N，则不足 部分补上零；若大于N，则删去超出N的那些 元素。对于矩阵X，它同样应用于矩阵的每 一列，只是限定了向量的长度为N。 (3) fft(X,dim)或fft(X,N,dim)：这是对于矩阵 而言的函数调用格式，前者的功能与FFT(X) 基本相同，而后者则与FFT(X,N)基本相同。 只是当参数dim=1时，该函数作用于X的每一 列；当dim=2时，则作用于X的每一行。值得一提的是，当已知给出的样本数N0不是2 的幂次时，可以取一个N使它大于N0且是2的 幂次，然后利用函数格式fft(X,N)或 fft(X,N,dim)便可进行快速傅立叶变换。这样 ，计算速度将大大加快。 相应地，一维离散傅立叶逆变换函数是ifft。 ifft(F)返回F的一维离散傅立叶逆变换； ifft(F,N)为N点逆变换；ifft(F,dim)或 ifft(F,N,dim)则由N或dim确定逆变换的点数 或操作方向。例-15 给定数学函数 x(t)=12sin(210t+/4)+5cos(240t) 取N=128，试对t从01秒采样，用fft作快速傅 立叶