从平面几何的发展看 现代数学谈胜利二零零四年十二月一日欧几里得几何（欧几里得几何（ 公元前公元前 300 300 ）总结了公元前总结了公元前 7 7 世纪至世纪至 4 4 世纪希腊的几何成果。世纪希腊的几何成果。研究对象：研究对象： 直线直线 和和 圆圆解析几何（解析几何（17 17 世纪初世纪初）笛卡儿和费尔马引进了坐标后笛卡儿和费尔马引进了坐标后几何问题几何问题 代数问题代数问题研究对象：研究对象： 直线直线 和和 圆锥曲线圆锥曲线射影几何（射影几何（17 17 世纪初）世纪初）研究对象：研究对象： 直线直线 和和 二次曲线二次曲线 的射影性质的射影性质坐标几何微 积 分 解析几何射影几何代数几何Pappus 定理 （公元 300 350 ）Pascal 定理 （公元 1640）Brianchon 定理 （ 1800s ）PQRPQR欧氏平面上的二次曲线椭圆: 与无限远直线 L不相交的二次曲线 抛物线: 与 L 相切的二次曲线 双曲线: 与 L 相交两个点的二次曲线 圆: 与 L 相交于下述两个固定虚点的二次曲 线 1, i, 0, 1, -i, 0 平行线: 相交于无限远处的两直线将P和Q的连线移至无穷远将过P的切线线移至无穷远关于圆的定理A AB BC Cb bc ca a三次曲线的研究三次曲线的研究牛顿牛顿证明在坐标变换下三次曲线有证明在坐标变换下三次曲线有标准方程标准方程: :y2=x3+ax2+bx+c曲线的相交（17 世纪开始）牛顿 1665 年断言：如果虚点包含在内，m 次曲线 和 n 次曲线有 mn 个交点.f(x,y)=0, g(x,y)=0.消元法（我国数学家于12世纪发现，Bezout 和欧拉于 1764 发现明显的算法）： r(x)=f(x,y) u(x,y) + g(x,y) v(x,y).Bezout 定理：牛顿的断言正确。完整的证明在十九世纪末才找到。圆锥曲线的定理的推广Chasles定理：设两三次曲线交9个点，如果第三条三次曲线过其中8个点，那么它一定过第九个点。 这是 Pappus 定理和 Pascal 定理的推广。 欧拉给克莱姆的一封信中提到过此结果。CayleyCayley- -BacharachBacharach定理定理：设两曲线设两曲线C Cm m和和C Cn n交交mnmn个点个点，如果第三条曲线 如果第三条曲线C Cm+n-3m+n-3过其中过其中mnmn-1-1个点，那么它 个点，那么它 一定过剩下的点。一定过剩下的点。定理定理（20002000）：设两曲线设两曲线C Cm m和和C Cn n交交mnmn个点，如果第个点，如果第 三条曲线三条曲线C Cm+n-km+n-k过其中过其中mnmn-(k-2)-(k-2)个点，那么它一个点，那么它一 定过剩下的定过剩下的k-2k-2个点。个点。注意注意：推广到曲面上。高维时为猜想，等价于代数 ：推广到曲面上。高维时为猜想，等价于代数 几何中著名的几何中著名的FujitaFujita猜想猜想圆锥曲线和三次曲线的差异二次曲线可以用有理函数参数化，三次不行二次曲线可以用有理函数参数化，三次不行 。x=x(t), x=x(t), y=y(t) y=y(t)曲线的复图形不同：曲线的复图形不同：直线和二次曲线的图形是球，直线和二次曲线的图形是球， 三次曲线的图形是环面。三次曲线的图形是环面。复曲线的想法来自复曲线的想法来自 Riemann (1851), Riemann (1851), 他将多项式方程他将多项式方程f(w,z)=0f(w,z)=0 中的中的w w看成是看成是z z的多值函数的多值函数 w=h(z)w=h(z), , 复曲线的图形就复曲线的图形就 是复是复 z-z-平面的多层覆盖所形成的平面的多层覆盖所形成的RiemannRiemann面面。这导这导 致了现代数学中致了现代数学中流形流形概念的产生。概念的产生。RiemannRiemann面的面的图图 形为：形为：图形中洞的个数图形中洞的个数g g成为亏格成为亏格三次曲线又叫三次曲线又叫椭圆曲线椭圆曲线y2 = 4x3+ax+b因为它与椭圆积分有联系。椭圆积分大致上就 是包含三次或四次多项式的平方根的积分，来 自椭圆周长的计算。这种联系是由高斯、阿贝 尔、Jacobi于1820年代发现，后来被 Riemann (1850年代）、Weierstrass (1863) 和 Poincare (1901) 进一步明朗化。例：椭圆曲线可以由Weierstrass的 P函数参 数化。x = P(u), y = P(u)椭圆曲线上的群结构（点之间可定义加法 ）P + 0 = P; P + V = 0; P + Q = Q + P; ( P + Q ) + R = P + ( Q + R ) .椭圆曲线与现代数论二次曲线上的有理点（坐标为有理数的点）可用参数化的 方法完全求出。Mordell (1950): 椭圆曲线上的有理点组成一个有限生成的 交换子群。即从有限个有理点出发，通过 +，- 运算可 求出所有的有理点。Faltings (1986): 亏格 g1 的曲线上最多只有有限个有理点 。费尔马大定理：不存在非零整数 a, b, c 使得 (n2)an + bn = cn关于费尔马定理的证明可归结为 n=p4 为素数的情形。设 a, b, c 是其解.G. Frey (1985) 构造了一条椭圆曲线 (Frey 曲线):y2 =x ( x + ap ) ( x bp ).他证明此椭圆曲线不是“模曲线” (即不能用“模函数”参数化).Taniyama-Shimura猜测：任何椭圆曲线都是模曲线。1995 年， Wiles (Taylor) 证明了上述猜测。代数不变量的研究十九世纪, 代数几何的一个很重要的研究内容就是 代数不变量理论。f(x, y) = a0 xn + a1 x n-1 y + + an yn判别式 D(a0, , an )、结式 R(f, g)、 不变量理论就是研究在坐标变换下“不变”的多项式。D(a0, , an )=det()p D(a0, , an )现代几何的研究现代几何就是研究流形。M = U1 U2 Un 我们希望通过那些在坐标变换下“不变”的几何量来研究流形 M, 例如：微分形式。实际上几何上的不变量都来自代数不变量。反之，任何代数不变量也给出了几何上的一个不变量。研究现状几何上还有很多来自代数的不变量没有得到研究 。不变量理论 = 向量丛理论Mumford (1960): 研究了部分代数不变量发现了几何现象“向量丛的稳定性”。造成原因：代数不变量理论被人为地划分为代数的一个分支。Weyl 的数学哲学n任何几何事实都来自不变量为零；n任何不变量都是张量的不变量。后者来自有限对称群的表示（1900）。祝博士生学术论坛 圆满成功谢谢大家!