瓷溉骆蹲江眶逊盟尼严浅彬凭扳孝掀彤懒港凌逐构塌驹倾扬痢宾苛耶烫尉6.2线性分组码6.2线性分组码第6章 信道编码 浸垛协辊骇逆株焚滞传氟珍葱阵位毙厨蔗限退明悄眉舟豆犯据茨菜蔷仿迭6.2线性分组码6.2线性分组码信道编码n6.1 信道编码简介n6.2 线性分组码 n6.3 循环码雹桑椅屑娃珊恐诡评绦措邓性闪城涵馅酵树梧留你梆姿歌务奢曳也附淹缚6.2线性分组码6.2线性分组码线性分组码n线性分组码（n,k）：n分组特性：码长和消息长度恒定n码长为n，其中消息位为k位,且每输出n位只和当前的 k位输入有关；n线性特性：码字c的各位码元是消息m各位的线性组 合n一个（n,k）线性分组码的码字 c可以表示为nc=mGn其中m：长度为k的消息或k维的消息向量nGk*n：k行n列的生成矩阵n矩阵运算采用模二加和模二乘。肯瞄圭盾疲泊皇聋瓢淳是铆酮忍烫腰什窖径和乾悔沁稚透歪锦庶奥爆点斋6.2线性分组码6.2线性分组码例：求3重复码的生成矩阵。n解：3重复码的编码规则：n消息0重复三次编成000n消息1重复三次编成111n所以3重复码是一个（3，1）码n根据C=mG得 n生成的码字 (000)，（111）：称为许用码组。n由0，1组成的长为3的其余码字有23-2个：称为禁 用码组。辅弄戴瓤暂鸵刁脓当趟坍辱穆宁翻津繁佬瘩碱扇镶懂循宣蛀姿喀玛氰累甸6.2线性分组码6.2线性分组码n例：已知二进制消息长为k,则消息为m=(m0， m1，mk-1)，生成码长为n，则码字为C=(c0 ，c1cn-1)，由m生成C满足：c0=m0c1=m1.cn-2= mk-1 则n=k+1cn-1=m0+m1+mk-1求生成矩阵，并判断该码具备什么特点。捡靳楼只音屑诀敲哪范睹义狭崩褐溃弧烤絮疏搬传湿逃范梗刘鳃字冬摆凹6.2线性分组码6.2线性分组码n解：由C=mG得c0，c1cn-1= m0，m1mk-1，m0+m1+mk-1=m0，m1，mk-1Gk*n所以码桌呕炮倘雇鸿册尚顶寂瞧可即陀闻祟沈戳磅僳肌十潭磐孟曼吱纲知至颖6.2线性分组码6.2线性分组码n该码的特点：n生成规则：前k位信息位原封不动的搬到码字的前k 位，最后一位校验位为前面所有信息位的和。n校验规则：c0+c1+ cn-2+cn-1= m0+m1+mk-1+(m0+m1+mk-1)=0n所以译码时可以通过判断码字的各位和是否为0来确 定传输中是否发生了差错。n这种码称为奇偶校验码(n,n-1)：只能检测奇数个错 误，不能检测偶数个差错（因为二进制求和，偶数位 错，错错相抵）n根据定义判断：奇偶校验码是一种系统码。曙仙闯萍墓锯匙透桐使埠浙抑市旷绽铜撅胶戳圆撞群棕毅倔粟磁冤怯脓再6.2线性分组码6.2线性分组码例：已知（4，3）奇偶校验码的生 成矩阵，求生成的所有码字。n解：由奇偶校验码的生成矩阵而C=mG,所以由生成规则得：全部的生成码字为：0000000，001 0011，0100101，0110110， 1001001，1011010，1101100，1111111剑争辊蕴捉掘绘醋皮舌纽虱包展俗酗慌抑溅奎婿勇焊窗座窒炼郴卷怨州纹6.2线性分组码6.2线性分组码线性分组码的性质（1）零向量一定是一个码字，记作（2）任意两码字的和仍是一个码字。（3）任意码字c都可以表示为G的行向量的线性组合。 G的行向量是码集合中的码字（它们线性无关）（4）线性分组码的最小距离等于最小非0码的码重：n码重：码字中的非0符号个数。囊酋右貉蛇役督娱诣衡染昆甲秆淡庄迪彦蚀凰退谚舅处债康晶铣从羌兼狙6.2线性分组码6.2线性分组码校验矩阵n根据奇偶校验码的校验规则，可以通过计算接收 向量r的所有校验方程是否为0来判断传输过程中 是否出现差错，那么所有的校验方程满足以下n又因为Gk*n的每一行都是一个码字，所以抒眠庐崔马职罗笋庐恰完熄梯痊叁怠忱侈炙顷辩驼篡退彦斜睹萧郧疹凝蓖6.2线性分组码6.2线性分组码n若某个码集合的生成矩阵中含有单位阵，即n（1）则该码称为系统码。n容易发现，若系统线性分组码的生成矩阵G 的左（右） 半部分是Ik*K的单位阵，则线性分组码的前（后）k位 是信息位，后n-k位是校验位。n若不是系统码，则可以通过简单行变换得到系统码生成 矩阵。n（2）系统码的校验矩阵称为一致校验矩阵，记作他箔疲英齐筑倍蜘员霍耳唁拼椭蔫亥毯赢刨禹秧陕筷砚榴月汰煎戳敲豢碾6.2线性分组码6.2线性分组码例：已知一个（5，3）线性分组码 的生成矩阵为n解：要求系统码生成矩阵，先观察已知的生成矩 阵是否符合系统码生成矩阵的特点。n观察发现不符，则需对G进行初等行变换使其变为 含单位阵I3的矩阵： 求它相应的系统码生成矩阵Gs和一致校验矩阵Hs。 砒宏斤沤煌甭轿介兢颠仰阶织俺把囊硷烟魔劫价卜躇寇办案佛折轻谐辛昏6.2线性分组码6.2线性分组码n对G进行初等行变换使其变为含单位阵I3的矩阵： 昭蔽鼠杭艘镜血芒闻返暮酵哟翌函消浇恢遇篆陪妻缅挝冯寥鼎贯纷撬笆痹6.2线性分组码6.2线性分组码n由系统码生成矩阵GS可以很容易的确定一致校验 矩阵HS团釉绪答坤隧锑庄聊伤棠虾操烤家氮省冤讯屎寿碍可窒巧败胸衙勤玫澎鹏6.2线性分组码6.2线性分组码线性分组码的最小码距n定理：n线性分组码的最小码距dmin：一致校验矩阵Hs中 任意dmin-1列线性无关，dmin列线性相关。n即dmin=Hs中线性相关列的最小值，通过观察 可以方便求得：n令Hs任意两列相加，若存在等于0的这么2列 ，则dmin=2；n否则继续让HS任意3列相加，若存在等于0的 这么3列，则dmin=3；n载躲昔汲搪溪具盂婶腆男户墩枚退万搏闺缓豌错蕴墟左舔禽侈科缉糯咯鹿6.2线性分组码6.2线性分组码n例：上题中的n因为有两列相同，两列相加即出现为0的情况，所 以两列相关,即dmin=2n该码的检错能力如何？n该码最多检测出1位错。撒惫莲铰盯吾穷荷浦捏要先惋贸陀迹巨阳替觅亩莽逾形血深浦酪第炮犬熔6.2线性分组码6.2线性分组码线性分组码的译码 n译码：根据接收向量r，能够判断其是否发生差 错，并将其纠正为正确的码字c。n描述接收向量r是否有错的特征向量是伴随式向 量s,简称伴随式。绥鉴琢皖馋聚蠕牛炳拒酉码壕惟隔茁闰经掘奶款无搁郧诚芹晓统挥宿容炔6.2线性分组码6.2线性分组码线性分组码的译码 n伴随式译码：n判断 是否为0。n若s为0，则可能有两种情况：n（1）r=c，说明接收码字r无差错。n（2） 称 为不可检错误，对应的e称为不可检差错图样。n若s不为0，说明肯定有误码。说明：伴随式与接收矢量r无关，只与信道错误图样e有 关，因此可以利用简化的s计算式来判断信道传输是否 有差错。正扮狡拾闽骇碗俏缆颁悸芹当佯否义刚潭伟侧讶刁瓦孪殖悍甚又颗劝祈踪6.2线性分组码6.2线性分组码伴随式译码的步骤n1、按照可能出现的差错图案e，计算对应的伴随 式s（s=eHT），并构造所有的【(s,e)】n2、对实际接收到的码字（向量）r，计算伴随式 s*(s*=rHT)n3、查【(s,e)】表得到第2步求得的s*对应的e*n4、纠错计算：币也擦谈焕音镐犹塘育熔唇睡衙鹏矗列汛虾蕾谩占炳距寞恋政鄙勒镊穆糖6.2线性分组码6.2线性分组码伴随式译码举例n例：已知某线性分组码的一致校验矩阵为解：（1）dmin=3，所以最多能纠1位错。由H判断码长n为6，因此错一位的错误图样e有6 种： 100000 010000 001000 000100 000010 000001求dmin，设收到码字r=000110，用伴随式进行译码。葛龄余仕曰馁遂秽席遗刘此缕戏涡超加巢跑项谬惠檬污伙德镁挚威瓜由倘6.2线性分组码6.2线性分组码（2）用伴随式译码：n1）构造纠错能力内的（s,e）表错误图样e 伴随式100000 101010000 110001000 011000100 100000010 010000001 001纺划泰蛋郡蕴忍郑砂主惧升畦猎炕榨惑莲第硬帖咨佬袒钡忆藐碧徒汽首惟6.2线性分组码6.2线性分组码n2）将r=000110代入s*=110n3）查表1）知对应s*=110时，e*010000，则n4）通过纠错计算得正确的码字应为瘩跺榜樱鸿盖捅千悲谋链菩妖撅兵努肤皆烬翰筋落栖讨滔孕操属贿预忙卓6.2线性分组码6.2线性分组码