本章主要教学内容本章介绍的是一种将连续系统模型离散化为与之 等效的离散模型的方法 ，通过本章的学习，读者应掌 握以下内容：l 离散相似法的基本概念及其仿真原理l典型环节的离散相似模型转换原理及其应用l以系统动态结构图作为数学模型的仿真过程及程序设 计方法l线性系统及非线性系统的离散相似法仿真应用l采样系统的特点及其离散相似法仿真应用第7章 离散相似法仿真7.1 离散相似法原理 第7章 离散相似法仿真 7.2 典型环节的离散模型 7.3 线性系统离散相似法仿真 7.4 非线性系统离散相似法仿真 7.7 采样系统仿真分析 7.1 离散相似法原理7.1.1 仿真算法描述所谓离散相似法，就是将一个连续系统进行离散化处理，从而得到等价的系统离散模型，此种方法按系统的动态 结构图建立仿真模型。在计算过程中，按各典型环节离散相似模型，根据环节的输入来计算环节的输出。1. 环节的离散化模型 将连续系统按图7-1所示对其进行离散化处理，在系统的输入、输出端加上虚拟采样开关，T为采样周期。为保证输 入信号复现原信号，在输入端加上一个保持器。 图7-1 连续系统模型的离散化 使用零阶保持器，可得到离散化状态方程的解： 若使用三角保持器，离散化状态方程解的形式为 ： 上式称为环节的离散系数 2. 仿真算法实现过程当给定连续系统的动态结构图后，将其等效为各典型 环节的组合，按前面讨论的典型环节离散系数表达式，经程序处理，事先将各环节的类型、参数、初始条件、各环 节连接关系矩阵、输入输出连接矩阵等参量送入程序中， 既可通过离散相似的模型求出在特定信号作用下，系统中各环节输出变量的变化情况，从而得到系统的仿真结果。 7.1.2 离散模型的精度及稳定性离散化模型近似等效于原来的连续系统模型，要考虑 仿真精度与哪些因素有关；还要考虑引入保持器后，其相 位滞后带来的使离散化模型的稳定性变差等问题。 1. 采样周期对仿真精度的影响引入了虚拟采样开关后，其采样周期原则上应该满足 香农采样定理：，而采样周期TS通常是按照系统的动态响应的时间关系 来选择的。按经验公式，一般情况下，采样周期TS按照系统的最 小时间常数T的十分之一来加以选择，即:如果给定系统开环截止频率时，系统的采样周期也可 以按下式进行选择：2.保持器特性对仿真精度的影响为使经采样后的信号无失真地复现，要在系统中加入保持器。虽然零阶保持器比较容易实现，但其精度较低。为了提高控制精度，可以 采用三角保持器，它复现信号的高频部分失真较小，并且无相位滞后， 可以得到比较满意的结果。此外，为了提高精度还可以采用校正补偿措施，在离散模型中加入一个确定的校正环节，适当调整参数，可使离散模型尽可能地接近原 型。 3. 离散化模型的稳定性离散化模型与原系统相比较，除了信号是离散的以外，还多了一个保持器。由于保持器本身具有的特性，对离散化模型会带来一定的影 响。 比如，零阶保持器具有相位滞后，对系统的稳定性带来不利影响 ，尤其是当系统由多个离散化模型组成时，这种相位滞后的影响更为严 重。而三角保持器的特性对系统的稳定性影响不大，故常使用三角保持器。 7.2 典型环节的离散模型按照前面的讨论，我们将常见的典型环节由传递函数表达式推导出其离散系数及离散状态方程，分别处理如下。1. 积分环节的离散方程为 :2. 比例积分环节离散方程为： 3. 惯性环节的离散方程为： 比例惯性环节的离散方程为： 7.3 线性系统离散相似法仿真 仿真源程序设计面向结构图的线性系统离散相似法仿真程序具备以下特 点： （1） 面向控制系统的动态结构图仿真。 （2） 按控制系统的环节离散相似原则建立仿真模型。 （3） 系统中各环节之间的关系由连接矩阵、输入矩阵和输 出矩阵表示。 （4） 程序中规定采用四种典型环节：H=0 积分环节； H=1 比例积分环节 H=2 惯性环节； H=3 比例惯性环节 其余环节可经过转换得到上述四种典型描述。 （7）输入各环节类型、参数、初值、连接矩阵等，可求出 特定信号作用下各环节的输出结果。 （7）采用人机对话形式输入仿真参数，容易调整参数和重 复运行。 7.4 非线性系统离散相似法仿真 7.4.1 典型非线性特性实际的控制系统中常含有一些非线性元件，呈现出特定的 非线性特性，当其作用不明显时，可采用控制理论中提供的 小偏差方法将非线性特性进行线性化处理，转换为线性系统 。对于大多数典型的非线性特性，例如饱和、限幅、死区、 齿轮间隙、磁滞回环、继电、磨擦等，其影响是显而易见的 ，既不能忽略，也不能作线性化处理。此外，为了获得优良 的静、动态特性，控制系统中常常需要引入某些特定的非线 性特性，来改善原有系统的性能，这些都需要采用非线性系 统仿真的处理方法。在本节中，我们主要讨论3种典型的非线性特性，即饱和 非线性、死区非线性、滞环非线性，并分析其对控制系统性 能的影响和仿真处理方法。 1. 饱和非线性特性对系统过渡过程的影响主要有：（1）使系统的稳定性变好；（2）过渡过程时间增长，快速性能降低；（3）超调量下降，动态的平衡性有所改善。2. 死区非线性对系统性能的影响主要有：（1） 增大系统的稳态误差，降低了定位精度；（2） 延长过渡过程时间，使动态性能下降。3. 滞环非线性特性对系统的性能影响主要有：（1） 增加系统静差，降低定位精度（2）在稳态值附近以某一幅度进行振荡，会产生自 振，对系统的稳定性带来不利影响。 7.7 采样系统仿真分析在实际控制系统中，许多场合都要用到计算机作为控制装置。这类系统事先要将被控的有关信号进行采样，通过输入 通道把模拟量变为数字量（即 A/D转换），然后将数字信号送入计算机，计算机按给定的规律进行计算，再将计算结果 通过输出通道转化为模拟量（即D/A转换）的控制被控对象。使被控量达到预定的控制指标要求，这类系统常称为采样控 制系统或数字控制系统。随着计算机技术的广泛应用，采样控制系统也得到普及推广，其控制特点为数字模拟混合系统，被控对象是时间的连 续过程，采用的控制器为离散型的数字控制器。在工程实践 中，采样控制系统的仿真具有重要意义。7.7.1 采样系统的算法描述下图中所示是典型的数字采样控制系统结构。 图中：D(z)表征数字控制器的脉冲传递函数H(s)表征保持器的传递函数 G(s)表征被控对象的传递函数T是系统的采样周期容易求出： 差分方程描述的就是离散各量采样时刻点上的相互关系 和变化情况，因此当仿真步长取采样系统的实际采样周期为 T时，求取的结果无截断误差，从理论上说算法是精确的。这种方法简便易行，只要D(z)、G(z)已知，则仿真过程 非常简单，且无截断误差，结果可靠。缺点是当系统复杂时 ，G(z )难以求取，即使求出G(z)也无法观察系统中其它中间 变量的响应特性，也不便考虑有非线性影响的情况。 7.7.2 采样周期与仿真步距的对应关系仿真步距的选择应根据被控对象的结构、采样周期的大小、保持器的类型、以及仿真精度和速度的要求综合考虑。 通常有以下3种情况： 1. 仿真步距T与采样周期Ts相等若选择仿真步距与采样周期相等时，在系统仿真过程中，实际采样开关与虚拟采样开关是同步工作的，与连续系统仿真 完全相同，从而可大大简化仿真模型，提高仿真速度。这种方式适用于采样周期Ts较小，系统阶次不高，仿真转变能满足要求的场合。 在仿真过程中，求出G(z)=zH(s)G(s)，得到一个差分方程 ，再计算D(z)的差分方程，组合后可求出系统的输出响应Y(t) 。 2. 仿真步距T小于采样周期Ts这种方式是比较常见的，当采样周期受系统环境要求设 置不变后，要提高仿真精度就缩小仿真步距，使T#include void main(void)int T=0;float WI,WO,SI,SF,VT,ST,SR;SF=0.2;VT=2000.0;ST=2.0;SR=2.0/2000;doT+=1;VT=VT+(6-4);ST=ST+(3-4*SR);SR=ST/VT;if(SR=SF)break;if(T%10=0) printf(“Time=%d ,VT=%.f, ST=%.4f, SR=%.5fn“,T,VT,ST,SR); while(1);printf(“Time=%d ,VT=%.f, ST=%.4f, SR=%.5fn“,T,VT,ST,SR);return;池 水 含 盐 量 仿 真 程 序%Matlab程序为 h=1; s0=2; w0=2000; r0=s0/w0; s(1)=s0+0.5*6*h-4*h*r0; w(1)=w0+2*h; r(1)=s(1)/w(1); t(1)=h; y(1)=(2000000+3000000*h+3000*h2+h3)/(1000+h)2; for i=2:200t(i)=i*h;s(i)=s(i-1)+0.5*6*h-4*h*r(i-1);w(i)=w(i-1)+2*h;r(i)=s(i)/w(i);y(i)=(2000000+3000000*t(i)+3000*t(i)2+t(i)3)/(1000+t(i)2;m=floor(i/10);if i/10-m0.2t02=i*h;r02=r(i);break endendt02,r0210*tm,sm,rmplot(t,s,blue,t,y,red)Matlab程序池 水 含 盐 量 仿 真 结 果时间T/min池水体积VT/m3含盐量ST/kg含盐率SR/kg/m3 10202031.693670.01769 20204060.810080.02909 30206089.371620.04338 402080117.39960.07644 702100144.91410.06901 602120171.93460.08110 702140198.47970.09277 802160224.76630.10397 902180270.21180.11478 1002200277.43190.127191102220300.2420.13724 1202240324.67660.14494 1302260348.68970.17429 1402280372.37460.16331 1702300397.66420.17203 1602320418.63060.18044 1702340441.26770.18877 1802360463.78020.19643 1872370474.62080.20026应用举例-池水含盐量问题表给出了不同时刻池中水的体积、含盐量及含盐 率，最后一行的数据给出了池水中含盐率达到0.2kg/m3 时的时间和含盐量在这个问题中，池水的体积和含盐量、含盐率都是随 时间连续变化的故这是一个连续系统的仿真问题， 我们是把这个连续过程离散化后用时间步长法进行仿 真的我们还可以用微分方程建立这个问题的数学模 型，并求出它的解析解，这个解析解就是问题的精确 解有兴趣可以按照这一思路求出该问题的精确解， 考察相应时刻精确解与仿真解的差异也可进一步调 整前面仿真过程的时间步长，通过与精确解的比较来 研究时间步长的大小对仿真精度的影响应用举例-面积计算例2:面积计算求由曲线x2+y2=16, x2/36+y2=1,以及 (x-2)2+(y+1)2=9所围成图形的面积。用Matlab语句作出图形得区域图 t=0:0.01:2*pi; x=sin(t); y=cos(t); plot(4*x,4*y,6*x,y,2+3*x,3*y-1) axis(-6,6,-6,6)应用举例-面积计算应用举例-面积计算此区域形状复杂，理论分析困难，可以用