第四章第四章 导数与微分导数与微分 第四章第四章 导数与微分导数与微分 导数与微分是微分学的两个基本概念。 给定函数y = f (x)，导数表达的是y随x变化的变化率；而微分则是用来近似函数改变量y的一个线性函数：dy = A dx。 导数与微分的关系是：微分的系数A就是导数。由于这一点，人们把微分法和求导法统称为微分法。 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4.1 4.1 导数的概念导数的概念 4.2 4.2 导数的基本公式与求导法则导数的基本公式与求导法则 本章的重点是：理解导数和微分的概念，熟记求导法则和微分法则，熟练的运用这些法则进行导数与微分的计算。 4.3 4.3 复合函数、反函数的求导法则复合函数、反函数的求导法则 4.4 4.4 隐函数求导法，高阶导数隐函数求导法，高阶导数 4.5 4.5 函数的微分函数的微分 4.6 4.6 泰勒公式泰勒公式 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 1 4. 1 4.1 4.1 导数的概念导数的概念 4.1.1 4.1.1 引例引例 引例引例1. 1. 求由y = f (x)表示的曲线，在点 (x0, y0) 处的切线斜率。 见图4.1-1。 图4.1-1第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 1 4. 1 解：解：用极限的方法 . 先求近似： 考虑过M0的割线的斜率。 如图4.1-2，在曲线上M0附近，取一点M1(x0+ x, y0+y)，则过M0, M1两点的割线斜率为 图4.1-2显然，k割可作为M0处切线的斜率k切的近似。 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 1 4. 1 再取限： 显然， x越小，割线 M0 M1 越近似于切线，k割 越近似于k切。 令 x0，则割线切线，k割k切。这里“”读作“趋于”。 于是有 由此可见：为求曲线y = f (x)在一点处的切线斜率，需要计算： 函数改变量y与自变量的改变量x的比， 当自变量的改变量趋于0时的极限。 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 1 4. 1 引例2. 设一质点沿直线运动，运动方程为S = f (t)，求质点在t0时刻的瞬时速度，见图4.1-3。 解：解：. 先求近似： 图4.1-3考虑在t0, t0+t这段时间上的平均速度 当t较小， 可作为t0处瞬时速度的近似。 再取极限： 按照物理学中瞬时速度的定义， 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 1 4. 1 于是，为求瞬时速度，也需要计算： 函数改变量y与自变量的改变量x的比， 上述两个问题的意义不同，但其求解的数学结构却一样，都是 求一个形如 当自变量的改变量趋于0时的极限。 的极限。 还有许多问题的求解，都可以归结为这样一个极限的计算。我 们把这种类型的极限，叫做导数。 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 1 4. 1 4.1.2 4.1.2 在一点处的导数在一点处的导数 定义定义 4.1.1 4.1.1： 若极限 存在，称 f 在x0 处可导，并称此极限值为 f 在x0 处的导数值， 记为 f (x0)，即 (1) 易见(1)式也可写为 (1 ) 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 1 4. 1 例4.1.1计算 f (x) = x2在x = 2处的导数值。 解：解：由导数定义 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 1 4. 1 4.1.3 4.1.3 导函数导函数 定义定义 4.1.2 4.1.2： 若极限 存在，此极限值将随x而变，是x的函数，记为f (x)，称为f (x)的导函数，即 通常，导函数就简称为导数。 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 1 4. 1 例4.1.2计算 f (x) = x2的导数。 解：解：由定义 记住：f (x)表示导函数，f (x0)表示导函数在一点x0处的值。 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 1 4. 1 4.1.4 4.1.4 导函数、导数值的其它记号导函数、导数值的其它记号 导函数除了记为f (x)外，还常记为 导函数在一点处的导数值，除了记为f (x0)外，还常记为 称 “ ” 为“导算子”，又叫“导数算符”，也就是导数运算符号。导算子写在一个函数的左边，表示对这个函数进行求导运算。 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 1 4. 1 4.1.5 4.1.5 导数的意义导数的意义 从引例可知：在几何上，导数表示y = f (x)的切线斜率；在物理上，导数表示质点作直线运动时的瞬时速度。 在x处，x变化一单位，y将变化几单位。 一般地，x是x的改变量，f (x + x) - f (x)是因变量 y 的改变量，于是比值 表示在区间x, x+x上，x每变化一单位，y将平均变化几单位，是y对x的平均变化率。因而，导数作为平均变化率的极限，表示： 它是在x处，y随x变化的变化率。 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 24. 24.2 4.2 导数的基本公式与求导法则导数的基本公式与求导法则 4.2.1 4.2.1 基本初等函数的导数基本初等函数的导数 求函数的导数，是我们经常要做的事情，但由定义求一个函数 的导数，是很麻烦的事情。 本节要做的，是从导数定义出发，推出一些导数的公式与法则 。然后，借助这些公式与法则来求导数，就方便多了。 例4.2.1f (x) = c，即常值函数，求f (x) 解：解：由定义 所以，常数的导数为0，即 c = 0 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 24. 2例4.2.2f (x) = sinx，求f (x) 解：解：由定义 所以，(sinx) = cosx 注意，上面的计算中，第二步用了三角函数的和差化积公式；第四步用了重要极限 。 类似地可得 (cosx) =- sinx 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 24. 2例4.2.3f (x) = lnx，求f (x)。 解：解：由定义 所以有 为了提高效率，其它基本初等函数的导数将用其它方法给出。 所有初等函数的导数公式与求导法则，见4.3.3、4.3.4、4.3.5。 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 24. 24.2.2 4.2.2 函数的和、差、积、商的导数函数的和、差、积、商的导数 设函数f , g在x处可导，则f与g的和、差、积、商在x处也可导 ，且有公式： (1).(2).(3).(4).(5).第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 24. 2下面证一下(2)式和(4)式，以便使你确信这些公式的正确性。 (注意，本步用了加减同一项的因式分解技巧) 证明(2)式： 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 24. 2有了对(2)式和(4)式的证明，(1)、(3)、(5)式的证明也就容易了 。请读者自己给出。 证明(4)式： 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 24. 2类似地， 例4.2.4求tanx的导数公式。 解：解：( 利用公式(5) ) 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 34. 34.3 4.3 复合函数、反函数的求导法则复合函数、反函数的求导法则 4.3.1 4.3.1 复合函数的求导公式复合函数的求导公式 定理定理 4.3.1 4.3.1： 复合函数、反函数、隐函数的求导，是导数计算的重点,也是难点。可以说,导数计算技巧,主要体现在对这三种函数的求导中。 本节介绍复合函数、反函数的求导法则。隐函数的求导法则将在下节介绍。 设y = f (x)由y= f (u) 和u= (x)复合而成，u= (x)在x处可导，y = f (u) 在对应的u处可导，则复合函数y = f (x)在x处可导，且 f (x) = f (u) (x) (1) 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 34. 3证：由导数定义 f (x) = f (u) (x) 证毕 注意：第三步用了 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 34. 3若将导数看作变化率，定理4.3.1的结论是显然的： 当y随u的变化而变化，u随x的变化而变化，则y随x的变化而变 化，y对x的变化率，就是y对u的变化率与u对x的变化率的积。见 图4.3-1。 例如： yxu图4.3-1当x变化1单位，u变化3单位， 当u变化1单位，y变化4单位， 则当x变化1单位，y将变化12单位， 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 34. 3注注1. 1. 式 f (x) = f (u) (x) 还可表示为： 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 34. 3注注2. 2. f (x)表示f对(x)的导数，(f (x) 则表示f (x)对于 x的导数。当函数F(x)由f (u)和u = (x)复合而成： F(x) = f (x) 我们也形象地说，在f (x)中，f 是外层，是内层。这样函数 的链式法则就可说成是： 外层对内层求导(内层看作一个变量)，内层再对x求导： f (x) = f (x) (x) 外层内层外层对内层导内层对x导第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 34. 3注注3. 3. 复合函数的求导法则，又叫链式法则，它可以推广到多 层函数复合的情况。 使用链式法则的第一步，是搞清复合关系。 例4.3.1求y = lncosx的导数。 解：解：y = lncosx是由y = lnu 与u = cosx 复合而成的。 lncosx 解：解：例4.3.2对复合函数求导法则熟练以后，可以不必写出复合关系。 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 34. 3解：解：解：解：例4.3.3(幂函数复合sin函数，sin函数又复合幂函数) 例4.3.2(指数函数复合sin函数，sin函数又复合幂函数) 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 34. 34.3.2 4.3.2 反函数的求导法则反函数的求导法则 设 f : XY的反函数为 f -1：Y X， f 1( y) = x 则有 将式两边对x导，注意到左边的复合关系，有 (2) 所以 (3) 即： 函数y = f (x)的导数，等于反函数x = f -1(y)的导数的倒数。 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 34. 3注：f-1(y)是x对y的导数，y是自变量；f (x)是y对x的导数，x是 自变量。上式说明： y对x的导数，是x对y的导数的倒数。 若用变化率来表述，则是一个简单的事实： 甲对乙的变化率，与乙对甲的变化率，互为倒数。 例如，甲对乙的变化率为4，即乙变化1单位，甲变化4单位； 则乙对甲的变化率为 ，即甲变化1单位，乙变化 单位。 反函数求导法是通过反函数的导数求导的方法，下面用例子说 明这一方法。 第四章第四章 导数与微分导数与微分 4. 34. 3例4.3.5求 y = arcsinx 的导数 解：解：y = arcsinx的反函数为 由反函数求导法(式(3)，得 即 类似地可得