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第 1 页 共 8 页课题:独立性检验的基本思想及其初步应用课题:独立性检验的基本思想及其初步应用教材:人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学选修 1-2一、教学任务分析一、教学任务分析1. 在统计学中,独立性检验就是检验两个分类变量是否相关的一种统计方法. 高中数学研究的 是两个分类变量各取 2 个值即 22 列联表的情况:X x1 x2 总计 y1 a b a+b Y y2 c d c+d 总计 a+c b+d n 2. 独立性检验与回归分析都可以判断两个变量的相关关系. 两者既有联系又有区别,回归分析 适用于定量变量的问题,独立性检验适用于分类变量的问题.二、教学目标二、教学目标 (1)能够用列联表、三维柱形图、二维条形图、等高条形图直观地判断两个分类变量是否相 关. (2)了解独立性检验的基本思想,能够按照独立性检验的步骤去检验两个分类变量的关系. (3)通过独立性检验的学习,了解数学在统计与概率中的确定性思维特点,体会直观与抽象、 感性与理性的联系.三、教学重点、难点三、教学重点、难点 教学重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点:(1)了解独立性检验的基本思想.(2)了解随机变量卡方 的含义.四、教学方法与手段四、教学方法与手段 采用“活动(课前)问题解决问题总结”的教学方法,即:在教师的引导下,通过开放 性问题的设置来启发学生思考,在思考中体会数学概念的形成过程中所蕴涵的数学思想和方法,加 强学生能力的培养 利用计算器进行数据计算,通过 Excel 软件作图,通过制作的课件呈现更丰富的教学素材.五、课前准备五、课前准备 (1)布置实习作业 学完1.1 回归分析的基本思想及其初步应用后,让学生完成判断两个变量是否相关的题 目,一类是可以用回归分析解决的(如问题一) ,另一类则不行(如问题二). 把这两类问题以实 习作业的形式要求学生进行收集数据、整理分析数据、得出结论并进行估计与预测. 作业要求思路 清晰、图文并茂、言之有理. (2)本节课前的实习作业 问题一:课外学习时间与学习成绩的关系 问题二:高中学生是否喜欢音乐与性别的关系第 2 页 共 8 页这里是我的一个实习作业的范例。问题一:课外学习时间与学习成绩的关系 日期:_年_月_日 组长: 组员: 问题背景: 在我们学习过程中,常常听到师长的教导,要努力学习啊,学习要多花时间,这么懒怎么取得好成 绩啊等等, 似乎学习成绩与学习时间有很强的相关关系. 在我们的观点中, 学习时间确实与学习成绩有关, 学习时间越多,学的知识也就越多,但并不一定是正相关关系,学习时间越长,并不决定学习成绩就会 越好. 到底在课外一般学习多长时间才最好?课外学习时间在多大程度上决定了学习成绩的高低? 研究问题分析: 抽样方案: 调查问卷(访问问题) : 分析数据的方法: 预想过程及组员安排: 成果形式: 过程记录: 成果摘要: 结论: 心得体会: 六、教学流程六、教学流程(一)创设情景,问题引入(二)观察感知,启发引导(三)自主探究,体会思想(四)例题学习,变式巩固(五)知识应用,尝试练习 (六)解决疑问,尝试小结(七)课后作业,自主学习七、教学过程设计七、教学过程设计(一)创设情景,问题引入(一)创设情景,问题引入设计意图设计意图1. 分析实习作业中的问题二: (1)女同学比较喜欢音乐?还是男同学比较喜欢音乐? (2)你的理由是什么? (3)如果你认为性别与喜欢音乐是有关系的,那么你的把握有多大?好的问题是进行有意义学 习与主动学习的前提. 在 学生经历了实习作业的基 础上,再提出一些本质问 题,让学生带着问题学习, 激发学生的求知欲.(二)观察感知,启发引导(二)观察感知,启发引导设计意图设计意图2. 概念的提出: (1)分类变量的概念像性别变量其取值为男和女两种,这种变量的不同“值”表示个 体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量. (2)列联表的概念用表格呈现上述问题的数 据, 由此提炼出概念,说 明本节课的学习内容.为 下面的学习内容作好铺垫.第 3 页 共 8 页男男 女女 总总计计 喜喜欢欢 15 20 35 不不喜喜欢欢 20 11 31 总总计计 35 31 66 像上表那样列出两个分类变量的频数表,称为列联表.3. 我们可用以下方法来判断:方法一:计算比例(概率)男同学中喜欢音乐的比例约为:43% 女同学中喜欢音乐的比例约为:65%方法二:图形判断,可用以下图形来判断: (1) 三维柱形图 (2)二维条形图 (3)等高条形图男 女喜欢不喜欢02468101214161820喜欢 不喜欢0510152025303540男女不喜欢 喜欢0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%男女不喜欢 喜欢(4) 其它柱形图、条形图、面积图等让学生从直观上认识到男 和女喜欢音乐的可能性存 在差异,即性别与是否喜 欢音乐有一定关系,同时 让学生意识到直观判断的 方法不够说服力.由此激 发学生寻找其它方法解决 上述问题的兴趣.(三)自主探究,体会思想(三)自主探究,体会思想设计意图设计意图4. 问题:怎样才能精确地判断两个分类变量是否有关呢?我们从比例、图形上可以得到结论:男和女喜欢音乐的可能性 存在差异,但又不能从正面严格证明,所以我们可以考虑什么方法 呢? 提示:正难则反引导学生发现问题,引导 学生利用正难则反的思路 来解决这个问题.并找到 解决问题的方法:类似反 证法.5. 为使研究的问题更具有一般性,我们用字母代替列联表的中数据:男 女 总计 喜欢 a b ba 不喜欢 c d dc 总计 ca db n 其中 n = a + b +c +d 为样本容量.假设 H0:喜欢音乐与性别无关. 则你能得出什么结论? 假设 H0:喜欢音乐与性别无关,则男、女学生喜欢音乐的比例差不 多,即dbb caa 按照反证法的思路,提出 假设,并引导学生在假设 H0成立的条件下找出数 据中的关系.从直观方法中的比例入手, 说明问题,并得到判断两 个分类变量是否相关的定 性描述.第 4 页 共 8 页所以 ad bc0. 因此|ad bc|越小,说明我们的假设 H0成立的可能性就越大,即性别 与是否喜欢音乐之间的关系越弱. 反之,亦然.为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于上述分析,统 计学上构造一个随机变量:卡方统计量:)()()()(2 2 dbcadcbabcadn 定性描述含有越大,越弱 等不确定性词语,还没有 真正解决精确判断的问题, 这时根据定性描述引入统 计学中的卡方统计量.6. 怎样用 K2说明两个分类变量是否相关呢?假设 H0:喜欢音乐与性别无关. K2的观测值为:096. 331353135)20201115(662 kH0成立的概率为:P(K22.706)0.10 注:可查出这个概率,是统 计学家估算得出而 3.0962.706H0成立的概率不会超过 0.10,即性别与喜欢音乐无关的可能性不 会超过 0.10.也就是认为性别与喜欢有关这种判断会犯错误的概率不 会超过 10% .我们有 90%的把握认为喜欢音乐与性别有关.得到卡方统计量后,通过 这个具体例子,利用卡方 统计量从定量分析上解决 问题,从中体会独立性检 验的基本思想.7. 独立性检验的概念:上面这种利用卡方统计量 K2来确定在多大程度上可以认为“两个 分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验. 在统计学中,独立性检验就是检验两个分类变量是否有关系的 一种统计方法. 独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法. 见下表: 由上例概括出独立性检验 的概念,并让学生了解到 独立性检验的作用.了解 本节课的学习重点.回顾独立性检验的推导过 程,与反证法进行比较, 体会独立性检验的基本思 想.第 5 页 共 8 页反反证证法法 独独立立性性检检验验 要要证证明明结结论论 A 要要证证明明 H1:两两分分类类变变量量 X 与与 Y 有有关关 假假设设结结论论 A 不不成成 立立 假假设设 H1不不成成立立(即即假假设设 H0:两两分分类类变变量量 X 与与 Y 无无关关) 在在 A 不不成成立立的的前前 提提下下进进行行推推理理 在在 H1不不成成立立(即即 H0成成立立)的的条条件件下下进进行行推推 理理 推推出出矛矛盾盾,则则 A 成成立立 推推出出 H0成成立立的的概概率率很很小小,则则 H1成成立立的的概概率率 很很大大,从从而而 H1成成立立. 没没有有找找到到矛矛盾盾, 反反证证法法失失败败 推推出出 H0成成立立的的概概率率很很大大,接接受受原原假假设设 8. 假设 H0成立的概率:假设 H0:两个分类变量 X 与 Y 没有关系,则 H0成立的概率如 下临界值表:P(K2k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 由上表可得到 H0成立的可信度为:P(K2k0) ,故 H1成立的可信度为:1P(K2k0) 思考:如果 K22.706,就断定 H0不成立,这种判断出错的可 能性有多大?了解临界值表的意义,让 学生知道临界值表中的数 据是 H0成立的概率,而不 是 H1成立的概率,知道如 何利用这个临界值表中的 数据进行解题.(四)例题学习,变式巩固(四)例题学习,变式巩固设计意图设计意图9. 例:为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某 校高中生中随机抽取了 178 名男学生与 122 名女学生,有 35 名男学 生与 37 名女学生不喜欢数学课程,其余的学生喜欢数学.(1)利用图形判断是否喜欢数学与性别是否有关系.(2)能够以 90%的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程 之间有关系吗?10. 变式:在上例条件下:(1)能够有多大的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程 之间有关系?(2)能够以 99%的把把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课 程之间有关系吗?(3)若计得卡方统计量的观测值 k = 2.1 呢?一般地,如果题目中没有给出临界值,且当 K2的观测值 k k0?有有(1P(K2k0)100% 的的把把握握认认为为X与与Y有有关关没没有有充充分分的的证证据据 显显示示X与与Y有有关关大大于于2.706且且小小于于k的的值值 都都可可以以是是临临界界值值k0k 2.706?开开始始结结束束是是否否否否是是是是否否在前面练习的基础上,归 纳出独立性检验的一般步 骤,让学生了解这种方法 的程序化步骤,这样可以 让学生更深刻地了解独立 性检验的思想,培养学生 的理性思维.13. 你能否列出本节课学习的内容?你觉得重点有哪些?易错点 有哪些?14. 你在本节课的学习中,还存在什么疑问吗?问题摘录:可以了解学生学习情况, 方便实施针对性的作业, 方便进行教学反思,也为 下一节课提供教学设计材 料.第 7 页 共 8 页(七)课后作业,自主学习(七)课后作业,自主学习设计意图设计意图作业:P18 / 习题 1.2 第 1 题,第 2 题,课后思考(提高能力): (1)P18 / 习题 1.2 第 4 题 (2)在实习作业中,我们利用回归分析去研究“课外学习时间与学 习成绩的关系” ,对于这个问题,能否应用独立性检验去研究? 如果可以请用独立性检验去说明这个问题,如果不可以试说明 你的理由.通过作业与思考题,巩固 所学知识,将学生的思维 向外延伸,激发学生的发 散思维,也为下一节课的 学习作好铺垫.板书设计板书设计、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
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