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第3章 集合的概念集合的概念集合是数学中最重要的概念,集合理论是 数学中最重要的理论。十九世纪七十年代,威尔斯特拉斯、戴德 金、康托尔等人深入研究实数理论,建立起极 限论的基本定理,不仅为微积分建立起严格的 理论基础,也导致了集合论的诞生。集合论分朴素集合论和公理化集合论。集合论被广泛应用在计算机科学中,如数 据结构、操作系统、数据库、知识库、编译原 理、形式语言、程序设计、人工智能、信息检 索、CAD 等。第第3 3章章集集 合合 的的 概概 念念 与与 运运 算算一、什么是集合?-只能给予直观的描述。所谓集合(Set ),就是把人们直观的或想象中的某些确 定的能够区分的对象汇合在一起组成的一 个整体。-组成集合的各个对象,称为这个集合 的元素(Element)或成员(Member)。通常,用大写字母A,B,C, 表示集合,用小写字母a,b,c, 表示元素。集合与元素之间的关系“属 于”关系- aA aB3.1 集 合 的 基 本 概 念二、集合的表示 列举法-将集合中的元素一一列举出来,或者 列出足够多的元素以反映集合中成员的特 征,并用花括号将元素括起来,其表示形 如:A=a1,a2,an A=a1,a2,a3, -列举法必须把元素的全体尽列出来, 不能遗漏任何一个,并且集合中的元素没 有顺序之分且不重复。3.1 集 合 的 基 本 概 念谓词表示法-用一个谓词来描述集合中元素具有的 共同性质。表示形式如A=x|P(x)意义是:集合A 由且仅由满足性质P 的那 些对象所组成,也就是说aA 当且仅 当a 满足性质P。3. 1 集 合 的 基 本 概 念练习1. 用列举法表示下列集合(1)A=a|aP且a201. (2)B=a|a|4且a为奇 数2. 用描述法表示下列集合(1) A=0,2,4,200(2) B=2,4,8,1024 2,3,5,7,11,13,17,19 -3,-1,1,3 2x|xZ且x1002n|nN且n10 3.1 集 合 的 基 本 概 念集合与元素元素与集合的关系:隶属关系属于,不属于 实例 A= x | xRx2-1=0 , A=-1,1 1A, 2A注意:对于任何集合A和元素x(可以是集合),xA和 xA 两者成立其一,且仅成立其 一. 隶属关系的层层次结结构例 3.1 A= a, b,c, d, d b,cA bA dA dA dA 包含(子集) A B x (xA xB)不包含 A B x (xA xB) 相等 A = B A B B A不相等 A B真包含 A B A B A B 不真包含 A B思考: 和 的定义义 注意 和 是不同层层次的问题问题一、集合之间的关系例1 A=a, b, c, d, B=a, e, x, y, z, C=a, x 则 C B,C A,B A, A B3.1 集 合 的 基 本 概 念集合的包含关系具有如下几条性质: 对任意集合A,A; 自反性:AA反对称性:若AB且BA,则AB传递性:若AB且BC,则A C若|A|n,则A有2n个子集3.1 集 合 的 基 本 概 念空集与全集空集 不含任何元素的集合 实例 x | x2+1=0xR 就是空集 定理 空集是任何集合的子集A x (xxA) T 推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2,则12 且12,因此 1=2 全集 在一个具体问题中,如果所涉及的集合都是某个 集合的子集,则称这个集合为全集,记作E全集具有相对性在给定问题中,全集包含任何集合,即A (AE )三、幂集(PowerSet) 定义1.2.2 给定集合A,以A的所有子集为元素 的集合称为A的幂集,记作P(A)。 例3 A=,B=,a,aP(A)P(B),a,a, ,a,a,a,a, a,a3.1 集 合 的 基 本 概 念集合的基数设A 为任一集合,用|A|(或#A)表示A中不 同元素的个数,称为集合A的基数,有:若|A|=0,则称A 为空集合( Empty Set),记为;若|A|为某自然数,则称A 为有 限集合(Finite Set);若|A|为无穷,则称A 为无限集 合(Infinite Set)3.1 集 合 的 基 本 概 念: :a1,a2 ,an :a1, a2,a1, a3 :a1, a2 , , an证明 设A= a1, a2 , , an,从n个元素中选取m个元素的方法有 种,所以A的子集个数为注:设A是有限集,则 .3.1 集 合 的 基 本 概 念练习1 设A=a,b,c,a,a,b,试指出下 列论断是否正确?(1)aA ( ) (8)bA ( )(2)aA ( ) (9)a,bA ( )(3)aA ( ) (10)a,bA ( )(4)A ( ) (11)cA ( )(5)A ( ) (12)cA ( )(6)bA ( ) (13)cA ( )(7)bA ( ) (14)a,b,cA ( )3.1 集 合 的 基 本 概 念练习2 列出集合A=1,2的全部子集。解 因为是任何集合的子集,所以 是A的子集。由A中任意一个元素所组成的集 合是A的子集,所以1和2是A的子集。 由A中任意两个元素所组成的集合是A的子集 ,所以1,2是A的子集。因为A中只有两个 元素,故A再没有其他的子集。由上可知,A有四个子集:,1, 2,1,2。 典 型 习 题练习3 设有集合A,B,C和D, 下述论断是否 正确?说明理由。 (1)若AB,BC,则AC解 正确。因为BC,所以集合B的每一 个元素也是集合C的元素,由AB知A是B的 一个元素,因此A也是C的一个元素,故 AC。 (2)若AB,BC,则AC解 错误。举反例如下:设A=a, B=a,b,C=a,b,c,显然AB, BC,但A不是C的子集。因为aA,但aC 。 典 型 习 题例1.3.1 设A=a,b,c, B=c,d,f , C=b,e则 AB定义3.7 A、B是任意集合,由属于A或属于B的 所有元素组成的集合称为A与B的并集,记作 。即显然 : 3.2 集 合 的 基 本 运 算例1.3.2 设A=a,b,c,d, B=d,f,a, C=e,f,g则 显然: AB定义3.7 设有A、B是任意两个集合,属于A同 时又属于B的所有元素组成的集合称为A与B的交 集,记作 。即 3.2 集 合 的 基 本 运 算定义3.7 设A、B是任意两个集合,所有属于A而 不属于B的元素组成的集合,称为B对A的相对补 集,记作A-B。即例1.3.3 设A=a,b,c,d, B=d,f,a, C=e,f,g 则B-A= f , C-A= e ,f , g =C BA重要性质:3.2 集 合 的 基 本 运 算A定义3.8 E为全集,A为E的子集,E-A称为A的 绝对补集,记作 。即3.2 集 合 的 基 本 运 算例如 设U=1,2,3,4,10,A=2,4,6,8,10 则又例如 设U=I(I是整数集), 则3.2 集 合 的 基 本 运 算定义1.4.1 A、B为任意两个集合,所有属于A而 不属于B或属于B而不属于A的元素组成的集合, 称为A与B的对称差对称差,记作 。即AB3.2 集 合 的 基 本 运 算关于运算的说说明运算顺序: 和幂集优先,其他由括号确定并和交运算可以推广到有穷个集合上,即A1A2An= x | xA1xA2xAn A1A2An= x | xA1xA2xAn某些重要结果 ABAAB AB=(后面证明)AB= AB=A只有一、二年级的学生才爱好体育运动F:一年级大学生的集合 S:二年级大学生的集合R:计算机系学生的集合 M:数学系学生的集合T:选修离散数学的学生的集合L:爱好文学学生的集合 P:爱好体育运动学生的集合T(MR)SRS T(MF)T=MLPPFSS(MR)P除去数学和计算机系二年级学生外都不 选修离散数学例所有计算机系二年级学生都选修离散数学数学系一年级的学生都没有选修离散数学数学系学生或爱好文学或爱好体育运动例分别对条件(1)到(5),确定 X 集合与下述那些集合相等。 S1 = 1, 2, , 8, 9 , S2= 2, 4, 6, 8 , S3= 1, 3, 5, 7, 9 , S4 = 3, 4, 5 , S5= 3, 5 (1) 若 XS5=, 则 X(2) 若 XS4, XS2=, 则 X(3) 若 XS1,X S3, 则 X(4) 若 XS3=, 则 X(5) 若 XS3,X S1, 则 X= S2= S5= S1, S2, S4= S3, S5与 S1, . , S5 都不等3.2 集 合 的 基 本 运 算一、集合运算的十条定律一、集合运算的十条定律 对于全集合E的任意子集A、B、C,有: 交换律结合律分配律恒等律3.2 集 合 的 基 本 运 算互补律否定律幂等律零一律吸收律德摩根律对偶原理:把一个等式中的中的,E和 的分别别代以,和E后得到另一等式3.2 集 合 的 基 本 运 算二、对称差运算的性质:二、对称差运算的性质: AA= A =A A E=A BB A3.2 集 合 的 基 本 运 算三、集合包含的证明方法证明 XY-命题演算法-包含传递法-等价条件法-反证法-并交运算法3.2 集 合 的 基 本 运 算3.1.命题演算法证 XY任取 x ,xX xY证明:AB P(A)P(B)任取xxP(A) xA xB xP(B)任取xxA xA xP(A) xP(B) xB xB 3.2.包含传递法证 XY找到集合T 满足 XT 且 TY,从而有XY。 例4 AB AB 证 AB A A AB所以 AB AB3.3.利用包含的等价条件证 XY例5 ACBC ABC 证 AC AC=C BC BC=C (AB)C=A(BC)=AC=C(AB)C=C ABC 命题得证3.4.反证法证 XY欲证XY, 假设命题不成立,必存在 x 使得xX 且 xY. 然后推出矛盾. 例6 证明 AC BC ABC 证 假设 AB C 不成立,则 x (xABxC) 因此 xA 或 xB,且 xC若 xA, 则与 AC 矛盾;若 xB, 则与 BC 矛盾. 3.5.利用已知包含式并交运算由已知包含式通过运算产生新的包含式XY
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