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5、函数x和x 定义1:设x是实数,用x表示不超过x的最 大整数,称它为x的整数部分。又称x=x-x为x的小数部分。例2.4=2,-2.4=0.6,-2.4=-3性质:1、由定义有恒等式x=x+x2、 x x0,则有证:注意与带余除法的比较。7、a,b 是正整数,则不大于a而为b 的倍数的 正整数恰有 个。证:能被b 整除的正整数为b,2b,3b,设这些 整数的个数恰好为k个,则 ,即 , 所以 例:1到1000的这1000个数是6的倍数的有多少 个.有 个.8、对正整数m,有证:由带余除法x=mq+r, ,所以又 , 所以即有n!的标准分解定理:设p(n!)表示p在n!的标准分解中的指数 ,则有p(n!)=先来看一个例子例:15!中2的个数为11个.证:若p n,则p n!, 即p(n!)=0, 成立。若 ,则由性质知在1,2,n中,p的倍数有 个,为p,2p, p, 其积为 同理若 ,则 1,2,3, 中,p的倍数是p,2p, p, 其积为 再在1,2,3, 中作同样讨论 ,依次类推有p(n!)=推论1:n为正整数,则有推论2:n为正整数,1 k n-1,则有证:对任意p, n!, k!, (n-k)!的标准分解中p的 指数分别为由性质即有k!(n-k)!|n! , 从而证明了结论。推论3:n为正整数,设f(x)是一个n次的整系 数多项式, 是它的k阶导数,则 是一个n-k次整系数多项式。证:显然 是n-k次整系数多项式, 设 ,则 中 的 系数为为整数,所以结论成立。例1: 求2005!末尾零的个数。解:因为10=25,而2比5多,所以只要考虑2005!中5的幂指数,即5(2005!)= 例2:证明(n!)(n-1)!|(n!)!证:对任意素数p,设(n!)(n-1)!中素数p的指 数为 ,(n!)!中p的指数,有 ,从而证明了结论.注: 要证明a|b,只要证明对任意素数p,a中 p的幂指数不超过b中p的幂指数即可,用p(a) 表示a中p的幂指数,则a|b 的充要条件是 p(a) p(b)例3 : 设c不能被素数平方整除,若a2|b2c,则 a|b证:由已知p(c)1,且p(a2)p(b2c) 2p(a)2p(b)+p(c) p(a)p(b)+ p(c)即p(a) p(b) a|b例4:设p为素数,则有p| ,其中k为小 于等于p-1的整 数证:由性质知有由已知(p,k!)=1, (p,(p-k)!)=1,所以有(p, k!(p-k)!)=1,又有上式得即p| , 从而证明了结论。
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