回顾,曲边梯形求面积的问题,第八节 定积分的几何应用,提示,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,一、平面图形的面积1.直角坐标系情形,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,法二,解,两曲线的交点,选 为积分变量,例4. 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,例5. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解:,面积元素,曲边扇形的面积,2. 极坐标情形,对应 从 0 变,例6. 计算阿基米德螺线,解:,到 2 所围图形面积 .,解,利用对称性知,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,双纽线的极坐标方程,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,小结,思考题,思考题解答,两边同时对 求导,所以所求曲线为,1. 求双纽线,提示: 利用对称性 ,则所求面积为,与圆,所围公共部分的面积 .,思考与练习,2. 计算心形线,与圆,所围图形的面积 .,解: 利用对称性 ,所求面积,备用题,解：,1. 求曲线,所围图形的面积.,显然,面积为,同理其他.,又,故在区域,分析曲线特点,2.,解:,与 x 轴所围面积,由图形的对称性 ,也合于所求., 为何值才能使,与 x 轴围成的面积等,故,练 习 题,练习题答案,