当,第三节 无穷小与无穷大一、无穷小,定义1 . 若,时 , 函数,则称函数,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,为,时的无穷小 .,注意,（1）无穷小是变量, 不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,无穷小与函数极限的关系:,证,定理1,其中,是当,时的无穷小.,对自变量的其它变化过程类似可证 .,意义,将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,无穷小的运算性质:,定理2 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,例1,解,也是无穷小.,都是无穷小.,类似可证,说明 : y = 0 是曲线,水平的渐近线 .,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 .,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小 .,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.,不是无穷大,无界.,证,例2 用定义证明,三、无穷小与无穷大的关系,定理4 在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证,意义: 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,四、小结,1、主要内容:,两个定义;四个定理;三个推论.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；,（3） 无界变量未必是无穷大.,思考题,思考题解答,不能保证.,例,有,一、填空题:,练 习 题,练习题答案,