华中科技大学光电子工程系第四章第四章 渐变折射率分布光纤渐变折射率分布光纤 华中科技大学光电子工程系渐变折射率分布渐变折射率分布n渐变折射率分布光纤的纤芯中,折射率n(r)是 径向距离r的函数；ng=1: 三角分布ng=2: 平方率分布ng=： 阶跃分布n实际使用的光纤绝大多数 是弱导光纤,纤芯中折射率 变化很缓慢。华中科技大学光电子工程系4.1 4.1 几何光学方法分析几何光学方法分析基本方程：射线方程（光线方程）基本方程：射线方程（光线方程）华中科技大学光电子工程系GIOFGIOF中光线的传播中光线的传播: :子午光线渐变折射率分布：光线轨迹: 限制在子午平面内传播的周期曲线。轨 迹曲线在光纤端面投影线仍是过园心的直线，但一 般不与纤壁相交。n外散焦面: 光线转折点(rip)的集合n导光条件: 华中科技大学光电子工程系局部数值孔径: 定义局部数值孔径NA(r)为 入射点媒质折射率与该点最大入射角的正弦 值之积,即:0 0华中科技大学光电子工程系GIOFGIOF中光线的传播中光线的传播: : 倾斜光线n射线方程n分量方程 轴向分量：角向分量：径向分量：上述推导中应用了关系式: de er/df=e ef ; de er/df=-e er华中科技大学光电子工程系直角坐标系与圆柱坐标系直角坐标系圆柱坐标系位置矢量r rre er re e e ez zezexey华中科技大学光电子工程系xyz园柱坐标系与光线入射条件园柱坐标系与光线入射条件drdsdzQr0r0rp(dr/dS) |r0 sinz(r0)sin(r0)(r d/dS)|r0 sinz(r0)cos(r0)(dz/dS)|r0 cosz(r0)coscosr rsinsinz zsinsin 华中科技大学光电子工程系轴向运动分析轴向分量方程:有： n(dz/dS)=const., 令其为 , 则有n(r)dz/dSn(r)cosz(r)=n(r0)cosz(r0)- 第一射线不变量华中科技大学光电子工程系轴向运动： 广义折射率定理华中科技大学光电子工程系轴向运动特点n相速: Vp/c/ 恒为常数n这说明渐变折射率分布光纤(GIOF)中的 光线沿z轴传播的速度恒定不变, 与光线 的轴向夹角z无关,这是一个与均匀折射 率分布光纤(SIOF)完全不同的重要特点 (SIOF中不同角度的光线轴向速度不同)nGIOF带宽大于SIOF!华中科技大学光电子工程系角向运动分析分量方程: 对方程两边同时乘r, 得有：- 第二射线不变量(r ddS)|r0 sinz(r0)cos(r0) (dzdS)|r0 cosz(r0)华中科技大学光电子工程系角向运动特点n光线的角动量：恒为常数 这表明,光线角向运动速度将取决于光线轨 迹到纤轴距离r:在最大的r处光线转动最慢; 在最小的r处光线转动最快。n子午光线：/2，d/dz0 光线保持在同一平面 内传播 n偏斜光线：方位角随z单调增 加，角度变化率 ： 的变化率也呈周期振荡的变化率也呈周期振荡 华中科技大学光电子工程系径向运动分析 r 分量方程: 方程两边同时乘上n(r)，得：经代数运算和化简，得:华中科技大学光电子工程系径向运动特点n对于相同r值,dr/dz可正可负,且在z1和z2 处分别达到最大和最小(dr/dz0),因此 ,rz关系曲线关于z1和z2对称并呈周期 性振荡华中科技大学光电子工程系光线分类判据判据: 当g(r)0时,光线存在; 当g(r)0时,为光线禁区； 当g(r) = 0时,为内外散焦面。 华中科技大学光电子工程系n2(r)n2(r)-I2 /r2n2(a)- I2 /r2n2(a)- I2 /a2华中科技大学光电子工程系约束光线条件: n2n(r0) cosz(r0)n1光线存在区域: rg1 n(r0) cosz(r0)n22(r02/a2)n2(r0)sin2z(r0)cos2(r0)光线存在区域: rl1 rl3内散焦面半径：rl1外散焦面半径：rl2辐射散焦面半径: rl3 n2(a)- I2 /a2华中科技大学光电子工程系n2(r)n2(r)-I2 /r2n2(a)- I2 /r2n2(a)- I2 /a2华中科技大学光电子工程系折射光线条件: 0rr1的所有区域均有光线存在，因此光线的约束 作 用完全消失，光线毫无阻挡地进入包层中传播。华中科技大学光电子工程系GIOFGIOF中的最佳折射率分布中的最佳折射率分布- -GIOFGIOF的子午光线的子午光线近轴光线：华中科技大学光电子工程系华中科技大学光电子工程系GIOFGIOF中的最佳折射率分布中的最佳折射率分布- -GIOFGIOF的偏斜光线的偏斜光线n n偏斜光线的一个待例是螺旋光线，其轨迹曲线上偏斜光线的一个待例是螺旋光线，其轨迹曲线上 各点离纤轴径向距离相等各点离纤轴径向距离相等(r (rr ro o为常数为常数) )，角向旋转，角向旋转 速率速率 也为常数。也为常数。华中科技大学光电子工程系华中科技大学光电子工程系4.2 4.2 波导场方程及模式性质波导场方程及模式性质 n当采用波动理论来分析光波在光纤中的传输时, 须求解波导场方程。其方法是首先求出纵向场 分量Ez和Hz,然后利用纵横关系式求出场的横向 分量。n在园柱坐标系中,Ez和Hz满足的波导场方程为：华中科技大学光电子工程系分离变量分离变量代入波导场方程得到：华中科技大学光电子工程系模式分类判据模式分类判据n当G2(r)0时为正弦函数形式, 对应于“驻波场”或“ 传播场”;n当G2(r)0 时为衰减指数形式, 对应于“衰减场”或 “消逝场”。n在传播场与消逝场的交界处,有 G2(r)0,华中科技大学光电子工程系n2(r)k02n2(r)k02-l2 /r2n22k02-l2 /r2华中科技大学光电子工程系导模n存在条件：n2k0n1k0n场分布特点: 在rg1rr1的所有区域均为传播场。 这时,光能量直接地、不受阻挡地向包层中辐 射并被损耗掉,光纤已经完全失去了波导约束 模式功率的作用。很明显,辐射模,是一种不受 约束的模式。华中科技大学光电子工程系华中科技大学光电子工程系两种方法的比较n导模：约束 光线n漏模：隧道 光线n辐射模：折射光线nTE/TM模： 子午光线nHE/EH模：倾斜光线华中科技大学光电子工程系课堂测验课堂测验(5)(5)nGIOF的数值孔径有何不同?n分别说明内散焦面、外散焦面、辐射散焦 面的物理意义。n为什么GIOF又称为“折射型”光纤？nGIOF中光线角向运动有何特点？n分别说明约束光线、隧道光线和折射光线 的特点。n分别说明导模、漏模和辐射模的场分布特 点，并说明模式与光线有何对应关系？华中科技大学光电子工程系4.3 4.3 平方律折射率分布光纤中的导模场解平方律折射率分布光纤中的导模场解n采用与阶跃型光纤类似的处理方法,可将渐变 型光纤中的场分为角向函数ei f与径向函数 F(r)的乘积;nF(r)满足的方程为:华中科技大学光电子工程系华中科技大学光电子工程系平方率分布光纤中的场解平方率分布光纤中的场解华中科技大学光电子工程系本征值与本征解本征值与本征解华中科技大学光电子工程系模式数目模式数目n由本征值方程 弱导光纤中存在线偏振模n主模式标号: p=2m+ +1n最高阶导模主模式标号pmax近似对应于光纤 中的导模数目。而pmax对应于b=n2k0,得到：pmax= V/2 ，或n导模数目： M= 4(1/2)(V/2)(V/4)= V2/4V/4mV/2华中科技大学光电子工程系基模场分布与模场半径基模场分布与模场半径n基模为 LP00, 此时L00=1, 则场分布为： E00 exp(-r2/W02)n平方率分布光纤基模场分布为高斯函数， 其模场半径W0为基模场的振幅衰减到最大 值的1/e时场分布的半宽度：e-1华中科技大学光电子工程系4.4 4.4 任意折射率分布光纤中的导模场解任意折射率分布光纤中的导模场解 n n对于折射率分布不为平方律分布的光纤对于折射率分布不为平方律分布的光纤 , ,不可能不可能 通过严格求解波导场方程获得解析解。为此通过严格求解波导场方程获得解析解。为此, ,人人 们提出了多种近似求解方法们提出了多种近似求解方法, WKB , WKB 法就是最常法就是最常 用的一种近似分析方法，由用的一种近似分析方法，由 Wentzel, Kramers Wentzel, Kramers 和和 BrillouinBrillouin提出提出. .华中科技大学光电子工程系4.4.1 WKB法的基本思想 n nWKBWKB法实际上是一种介于几何光学与波法实际上是一种介于几何光学与波 动光学方法之间的近似方法。动光学方法之间的近似方法。 导模场分布的变化主要体现在相位的变化上导模场分布的变化主要体现在相位的变化上 可以将场解分解为可以将场解分解为 缓慢变化的振幅函数与快缓慢变化的振幅函数与快 速变化的相位函数的乘积速变化的相位函数的乘积 将将F(r)F(r)的求解归结于求光程函数表达式的求解归结于求光程函数表达式 利用相位匹配条件求取本征值。利用相位匹配条件求取本征值。华中科技大学光电子工程系令：(r)A(r)expik0S(r) ；F(r)r-1/2(r) 将S(r)展开成1/k00/2的幂级数：华中科技大学光电子工程系本征解：本征解： F(r) eF(r) eiin n当当g g2 2(r)(r)0 0时，时，g(r)g(r)为实数，场解为振荡型驻波场：为实数，场解为振荡型驻波场：n n当当g g2 2(r)(r)0 0时，时，g(r)g(r)为纯虚数，场解为指数衰减型消逝场。为纯虚数，场解为指数衰减型消逝场。 华中科技大学光电子工程系4.4.2 4.4.2 导模本征值导模本征值 n从r1到r2, 场的相位变化应为p的整数倍：n本征值方程 传播常数(本征值)：华中科技大学光电子工程系比较：平方率分布光纤比较：平方率分布光纤n精确解：nWKB近似：华中科技大学光电子工程系导模数目导模数目M=P=V2g/(2(g+2) g=2: M=V2/4 g=: M=V2/2华中科技大学光电子工程系场的输出特性场的输出特性n模角：n输出近场图：n输出远场图：华中科技大学光电子工程系4.5 4.5 单模光纤中的导模场解单模光纤中的导模场解 n单模光纤具有极小的色散和极低的损耗,一根 光纤可传输数百兆甚至几千兆的宽带信息, 无 中继距离可达几十甚至数百公里;n单模光纤中基模的相位、偏振、振幅等参数 对于各种外界物理量(如磁场、 电场、转动、 振动、应力、温度等等)极为敏感,利用这种敏 感特性可制成灵敏度极高的各种光纤传感器 。n利用单模光纤的非线性效应可制成光纤激光 器与光纤放大器,还可应用于测量和信息处理 等方面,具有不可比拟的优越性。华中科技大学光电子工程系4.5.1 4.5.1 理想阶跃型单模光纤的场解理想阶跃型单模光纤的场解 nHE11(LP01) 模-z0 AJ0(Ur/a)/J0(U) 0ra Ey(x) Hx(y)n BK0(Wr/a)/K0(W) raW1.1428V-0.99602