中小学教育资源站（http:/www.edudown.net)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/www.edudown.net 22.2 降次降次解一元二次方程解一元二次方程学习目标、重点、难点学习目标、重点、难点 【学习目标】 1、掌握一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法） 2、掌握一元二次方程的根的判别式. 【重点难点】1、 一元二次方程的解法； 2、 元二次方程的根的判别式知识概览图知识概览图直接开平方法配方法公式法因式分解法一元二次方程的根的判别式=b2-4ac 0，有两个不等实根 0，有两个相等实根0，无实根新课导引新课导引 如下图所示，一桶油漆可刷的面积为 1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样 的正方体形状的盒子的全部表面（正方体的表面积为六个面面积之和） ，求盒子的棱长.【问题探究问题探究】 设盒子的棱长为 x dm，可知每个正方体的表面积为 6x2 dm2，10 个正 方体的表面积和为 60x2 dm2，所以 60x21500，解这个方程即可.如何解这个方程呢？ 【解析解析】 由 60x21500，可得 x225，所以 x 是 25 的平方根，即 x5，但由于 x 表示的是正方体的棱长，故 x5.教材精华教材精华知识点 1 解一元二次方程的基本思想一元二次方程一元一次方程. 降次拓展拓展 解一元二次方程的基本思想是 “降次” ，通过“降次”把一元二次方程转化为 一元一次方程和解二元一次方程组的“消元”思想类似.“降次”和“消元”都是数学中重 要的化归思想，即将新知识转化为旧知识解决.知识点 2 利用直接开平方法解形如（axb）2c(c0)的一元二次方程 一般地，运用平方根的定义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫做直接开平方 法. 对形如（axb）2c(c0)的一元二次方程来说，因为 c0，所以在方程两边直接开一元二次方程的解法 解法一元二次 方程的解 法中小学教育资源站（http:/www.edudown.net)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/www.edudown.net 平方，可得 axb，进而求得 x (c0).ccb a拓展拓展 （1）直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它主要针对形如 （axb）2c(c0)的一元二次方程，它的理论依据就是平方根的意义. （2）利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开方的结果后取“正、负”. （3）用直接开平方法解方程先要将方程化为左边是含未知数的完全平方式，右边是非 负实数的形式，再利用平方根的定义求解.知识点 3 利用配方法解一元二次方程 把一般形式的一元二次方程 ax2bxc0(a0)变形成左端是一个含有未知数的完全 平方式，而右端是一个非负常数，进而可用直接开平方法来求解，这种解一元二次方程的 方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的一般步骤：第一步，把方程化为一般形式（二次项系数是 1） ；第二步，把常数项移到方程的右边；第三步，配方，方程的左、右两边同时加上一次 项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式；第五步， 用直接开平方法解方程. |规律方法小结规律方法小结|（1）配方法是对二次项和一次项配方，所以一般先把常数项移到方程 右边，再利用等式的性质将方程两边都加上一次项系数一半的平方（二次项系数必须为 1）. （2）用配方法解一元二次方程，实质就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的 形式.配方是为了降次，利用平方根的定义把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来 解. 知识点 4 利用公式法解一元二次方程 一般地，对于一般形式的一元二次方程 ax2bxc0(a0)，当 b24ac0 时，它的根可由式子 x得到，这个式子叫做一元二次方程的求根公2 24(40)2bbacbaca 式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.对于满足条件 b24ac0 的一元二次方程， 都可用求根公式求解，求根公式是对 ax2bxc0(a0)运用配方法得出来的，过程如下：因为 a0，所以方程两边都除以 a，得，20bcxxaa移项，得，2bcxxaa 配方，得2222 2 24 2224bbcbbbacxxxaaaaaa ，即，因为2040aa ，所以，当 b24ac0 时，直接开平方，得x24 22bbac aa ，中小学教育资源站（http:/www.edudown.net)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/www.edudown.net 所以 x.24 2bbac a （或写成 x1）22244 22bbacbbacxaa ，拓展拓展 利用求根公式解一元二次方程时，一定要注意以下几点： （1）不是一般形式的一元二次方程，首先要将其整理成一般形式.如解方程 2（x1）252x 时，需先将其整理成 2x22x30.（2）确定公式中的 a，b，c.如（1）的例子中，a2，b2，c3. （3）判定 b24ac 的符号，只有当 b24ac0 时，才能运用求根公式知识点 5 利用因式分解法解一元二次方程对于一般形式的一元二次方程来说，若其左端能够因式分解成20(0)axbxca的形式，则根据乘法中一个数同零相乘积是零的性质，可得1122()()a xba xba1xb10，或 a2xb20，进而求出方程的解，这种方法就是因式分解法. 例如：解下列方程. （1）x270； （2）x26x90.解：（1）x270， （x）(x)0，77x0，或 x0，x 1，x2.7777（2）x26 x90，（x3）20，x 1 x 23. 拓展拓展 （1）因式分解法解一元二次方程是通过因式分解降次，把原方程转化为两个一 元一次方程. （2）因式分解法只限方程右边为 0，方程左边能因式分解的方程. |规律方法小结规律方法小结| 在没有指明一元二方程的解法的前提下，四种解法的使用顺序如下： 直接开平方法因式分解法公式法配方法（没有特别指明，一般不用配方法）. （2）解方程的各种方法掌握后，要结合具体问题具体分析，用最简便可行的方法解一 元二次方程，一般在未指明要求用什么方法时，可以先考虑用因式分解法，如果是特殊形 式（xa）2b(b0） ，可用直接开平方法，最一般的方法是公式法，配方法解方程比较 烦琐，在题目没有特殊要求时，可以不用. （3）根据解的定义可以将所得的解代入原方程看方程是否成立，从而检验出解得的结 果是否正确.知识点 6 一元二次方程的根的判别式一般地，式子的根的判别式.常用2240(0)bacaxbxca叫做一元二次方程“” （读作“delta” ）表示 b2-4ac，即 24.bac拓展拓展 （1）在实数范围内，一元二次方程的根由其系数，20(0)axbxca中小学教育资源站（http:/www.edudown.net)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/www.edudown.net a，b，c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由 确定.24bacb24ac0 时，方程有两个不相等的实数根. 如：方程 x2-5x40 中，a1，b5，c4, b24ac(5) 241490，它的根 x，( 5)953 2 12 x11，x24. 当 b24ac0 时，方程有两个相等的实数根. 如：方程 4x212x90 中，a4，b12，c9, b24ac(12)24490，它的根 x,( 12)0123 2 482 x1x2.3 2 当 b24ac0 时，方程没有实数根. 如：方程 x22x20 中，a1，b2，c2， b24ac(2)241240. 此方程没有实数根. （2）不解方程，利用根的判别式也可以判断方程根的情况，只需根据 的符号得出 结论即可. （3）用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值，上述判定方法也可以反过来 使用：当方程有两个不相等的实数根时，0；有两个相等的实数根时，0；没有实 数根时，0. （4）在用公式法解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式 b24ac 判定方程的根的情况（有两个不相等实数根，有两个相等实数根，无实数根） ， 然后再求解当 b24ac0 时，方程的实数根.知识点 7 一 元二次方程根与系数的关系如果 x1，x2是方程 ax2bxc0(a0)的两个根，那么 x1x2，这12bcxxaa，个关系式称为一元二次方程根与系数的关系. 拓展拓展 （1）根与系数的关系是在方程 ax2bxc0(a0)有根的前提下（即 b24ac0)才能成立的，运用根与系数的关系解题时首先要检验 b24ac 是否非负. （2）利用根与系数的关系可以不解方程而求出与两根有关的一些代数式的值.比如x12+x22 , 等.2111 xx探究交流探究交流 方程（x3）20 的根是 x3.这种说法对吗？ 解析解析 这种说法不对，因为一元二次方程如果有根就一定有两个根，所以原方程的根是中小学教育资源站（http:/www.edudown.net)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/www.edudown.net x1x23.课堂检测课堂检测 基础知识应用题 1、用直接开平方法解下列方程. （1）9（ x1）240； （2） （2x1）25.2、用配方法解方程 3x22x-3=0综合应用题 3、如果 x2 是方程 2x23ax2a0 的解，那么关于 y 的方程 y23a 的解是 .4、当 x 为何值时，代数式的值等于 0？222 33 3xx x 探索创新题 5、已知一直角三角形三边长为 a，b，c，B90，请判断关于 x 的方程 a(x21) 2cxb(x21)0 的根的情况.体验中考体验中考 1、一元二次方程 x240 的解是（ ） A.x12，x22 B.x2 C.x2 D.x12，x202、已知 x2 是一元二次方程（m2）x24xm20 的一个根，则 m 的值是 . 3、解方程 x(x8)16.中小学教育资源站（http:/www.edudown.net)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/www.edudown.net 学后反思学后反思附：附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测及体验中考答案课堂检测课堂检测 1、分析 本题考查的是利用直接开平方法解一元二次方程.若 x2a(a0)，则 x,因此解本题要先将原方程为（mxn）2p(p0)的形式，再开平方即可.a解：（1）9（x1）240,移项，得 9（x1）24，两边同除以 9，得（x1）2，4 9两边同时开平方，得 x1，2 3x1，或 x1，x1，x2.2 32 35 31 3 （2） （2x1）25，直接开平方，得 2x1，52x1，或 2x1，55x1，x2.15 215 2