第五章 几 何 5.2 几个重要定理Date15.2 几个重要定理Date25.2 几个重要定理Date35.2 几个重要定理例1：证明：在三角形中， （1）三条中线交于一点（重心）； （2）三条角平分线交于一点（内心）； （3）三条边的中垂线交于一点（外心）； （4）三条高交于一点（垂心）Date45.2 几个重要定理例2：在ABC中，设三边BC、CA、AB分别与三角形的内切圆相切于X、Y、Z，证明：AX、BY、CZ交于一点（葛尔刚（Gergonne）点).Date55.2 几个重要定理例3：如图5.2.2，过ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P,Q，R，求证：P、Q、R三点共线（莱莫恩（Lemoine）线).见课本P191.例1Date65.2 几个重要定理例2：在ABC中，设三边BC、CA、AB分别与三角形的内切圆相切于X、Y、Z，证明：AX、BY、CZ交于一点（葛尔刚（Gergonne）点).例3：如图5.2.2，过ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P,Q，R，求证：P、Q、R三点共线（莱莫恩（Lemoine）线).笛沙格（Desargues）定理 Date7例4：设AD是ABC的高，P为AD上一点，BP、CP 的延长线分别交AC、AB于E、F（图5.2.7）。证明：AD平分EDF5.2 几个重要定理见课本P195.例5NM证法1：利用Ceva定理Date8例4：设AD是ABC的高，P为AD上一点，BP、CP 的延长线分别交AC、AB于E、F（图5.2.7）。证明：AD平分EDF5.2 几个重要定理见课本P195.例5证法2：Q完全四边形的调和性Date95.2 几个重要定理10 例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的 连线中，最长的等于其余两线的和. 即：证明 AP=BP+PC5.2 几个重要定理D证法1：延长BP至D使PD=PC， 连CD. 然后证明AP=BD.证明 ACPBCD.Date11 例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的 连线中，最长的等于其余两线的和. 即：证明 AP=BP+PC5.2 几个重要定理C证明 ABCCBP.证法2：在AP上取一点C，使 PC=BP，连BC. 然后证明 AC=PC.Date12 例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的 连线中，最长的等于其余两线的和. 即：证明 AP=BP+PC5.2 几个重要定理证法3(托勒密定理)：BCAP=ACBP+ABPC，所以 AP=BP+PCDate135.2 几个重要定理=222一Date145.2 几个重要定理五、 西姆松（Simson ）定理三角形外接圆周上任意一点在三边（所在直线）上的射影共线.12证法一：只需证 1+ 2=180证法二：应用Menelaus定理Date15Date16Menelaus定理Date17改述为： 如图，ABC中， E、F分别是AC、AB上的点，且EFBCBE与CF 交于点O，AO交BC于D，求证：BD=DC.Date18改述为： 如图，ABC中， E、F分别是AC、AB上的点，且EFBCBE与CF 交于点O，AO交BC于D，求证：BD=DC.P。(BC,D P)=-1BD=DCDate195.3 几个典型的几何问题一、共圆点问题证明四点共圆，通常用下列方法：（1）证诸点到一定点的距离相等（圆的定义）（2）证明是圆内接四边形（或证对角互补，或证某两点视另两点连线段的视角相等，当然这两点要在这线段的同侧）（3）相交弦定理之逆：若=O，证明（4）直径所对圆周角是直角：如果其中某两点的连线段为直径，可证明其余的点对这线段的视角均为直角Date205.3 几个典型的几何问题一、共圆点问题例通过圆内接四边形一顶点和邻接二边中点作圆 ，证明这四圆共点设O是四边形的外心，则OMAB， ONAD,因此，A、M、O、N共圆。Date215.3 几个典型的几何问题一、共圆点问题例2密克（Miquel ）定理： 在三边，所在 直线上分别取，三点，则 ，三个圆共点. 123Date22例3见课本P204.例1Date23245.3 几个典型的几何问题一、共圆点问题例4：三角形三边中点，三垂足，垂心与三顶点连线段 的中点，这九点共圆，称为这三角形的九点圆如图：，设是三边 中点，是垂足，是垂心， ，是，的中点 则， 九点共圆九点圆定理Date255.3 几个典型的几何问题一、共圆点问题九点圆定理九点圆的性质三角形的九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半；三角形的九点圆心、外心、重心、垂心四心共线（欧拉线）；三角形的外心，重心，九点圆圆心，垂心分别为， ，则2 1 Date265.3 几个典型的几何问题一、共圆点问题三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心 分别为，则2 1 Date27见课本P205.例3Date285.3 几个典型的几何问题二、共线点问题证明三点（，）共线的方法：1.利用平角：证明XYZ=180（或0）2.证明与平行于同一条直线；证明、同在一定直线上；证明和某定直线的交点就是3.利用已知的共线点定理（如欧拉线、西姆松线等）4.应用Menelaus定理5.利用位似形的性质对应点连线过位似中心6.利用射影几何有关定理：德萨格（ Desargues ）定理、帕普斯（ Pappus ）定理、 帕斯卡（Pascal）定理等Date29见课本P207Date30证法二：利用二次 曲线的极与极线.N 例6：在中以为直径的圆交，于， ，求证：圆在，的切线与高线共点分析一：设过E点的切线交AD于M， 易证图中三个角相等， 则ME=MH=MA. 连FM，须证FM是圆的切线 作F点的半径FO， 只需证FOFMO123结论为三线共点， 注意到E、F的切线就是E、F的极线. AD又是谁的极线？如果找到AD的极，可利用“共线点的极线共点”证明之.Date31NHFDEAB CPQ“共线点的极线共点”“共点线的极共线”P Q HAP的极 AQ的极 AN的极Date32NHFDEABCP QNPQHFEABC条件“BC为直径、H是垂心”有用么？DDate33NHFDEABCPQNHFDEABCPQ圆也可以换.Date345.3 几个典型的几何问题三、共点线问题证明三线共点的方法：1.转化为共线点的问题来证明2.利用已知的共点线定理（如外心、内心、重心、垂心等）3.应用Ceva定理4.利用位似形的性质对应点连线过位似中心5.利用射影几何有关定理：德萨格（ Desargues ）定理、布利安双（Brianchon）定理等6.解析法Date35例（牛顿定理）. 求证:圆外切四边形对边切点的连线与对角线四线交于一点.Date36习题5.34.三圆两两相交，则三条公共弦所在直线平行或交于一点.O1O2O3PF2F1Date37习题5.38. AB是半圆O的直径，过A、B引弦 AC、BD，并过C、D引圆O的切线交于点P.过P作PEAB于E，则 AC、BD、PE三线共点.QDate38已知：ABAB， ACAC ，求证： BCBC.P思考题：Date39已知：ABAB， ACAC ，求证： BCBC.AABCBCPQR.帕普斯（ Pappus ）定理思考题：Date40