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1直直 线线 的倾斜角的倾斜角 斜斜 率率 2问题情境直线最简单的几何图形飞逝的流星沿不同 的方向运动在空中形成美丽的直线3问题情境确定直线的要素问题1:(1) _确定一条直线.两点(2) 过一个点有_条直线.无数条确定直线位置的要素除了点之外,还有 直线的方向,也就是直线的倾斜程度.xyoyxo问题1:如何确定一条直线在直角坐标系的位置呢?两点或一点和方向问题2:如果已知一点还需附加什么条件 ,才能确定直线?一点和方向问题3:如何表示方向?用角问题引入解决本节第一问题问题引入解决本节第一问题一、直线的倾斜角1、直线倾斜角的定义:当直线 L 与X轴相交时,我们取X轴作为基准 ,X轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直 线的倾斜角注意: (1)直线向上方向;(2)轴的正方向。x 0y例1.下列四图中,表示直线的倾斜角的是( )练习巩固倾斜角的概念: ABCDA xyol1l2l3 想一想例2.看看这三条直线,它们倾斜角的大小 关系是什么?设 、 、分别为 、 、p oyxyp oxp oyxp oyx规定:当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为02、直线的倾斜角范围的探索由此我们得到直线倾斜角的范围为:)180,0ooa想一想你认为下列说法对吗?1、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。对错3、直线倾斜角的意义体现了直线对轴正方向的倾斜程度在平面直角坐标系中,每一条直线都有 一个确定的倾斜角。 倾斜角相同能确定 一条直线吗?相同倾斜角可作无数 互相平行的直线11问题情境楼梯的倾斜程度用坡度来刻画1.2m3m3m2m坡度=高度 宽度坡度越大,楼梯越陡12级宽高 级建构数学直线倾斜程度的刻画高度宽度直线xyoPQM直线的倾斜程度= 类比思想3、探究:由两点确定的直线的斜率如图,当为锐角时, 能不能构造一 个直角三角形 去求?锐角 如图,当为钝角是, 钝角 xyo (3)yox(4)1、当 的位置对调时, 值又如何呢? 当直线平行于y 轴,或与y 轴重合时,上述斜率公式还适用 吗?为什么?已知直线上两点 ,运用上述公式计算 直线 斜率时,与 两点坐标的顺序有关吗?16数学应用例1:如图,直线 都经过点 ,又 分 别经过点 ,讨论 斜率的是否存在,如存在,求出直线的斜率.xyol1l2l3l4解: 直线l1的斜率k1=k2=k3=直线l4的斜率不存在直线l2的斜率直线l3的斜率PQ1Q2Q3Q4直线斜率的计算K1=1K2=-1K3=0斜率不存在17纵坐标的 增量 xyo已知两点 P(x1,y1), Q(x2,y2), 如果 x1x2,则直线 PQ的斜率 为:k 建构数学直线斜率的定义横坐标的 增量 请同学们任意给出两点的坐标, 并求过这两点的直线的斜率.形数 23 2o 2-yx2、直线的斜率定义:直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率 通常用k表示,即:倾斜角不是90的直线都有斜率,并且倾斜角不同,直线的斜率也不 同因此,可以用斜率表示直线的倾斜程度19问题3 :对于一条与x轴不垂直的定直线 而言,直线的斜率是定值吗?是定值,定直线上任意两点确 定的斜率总相等从上可以看出直线的倾斜角与斜率之间的关系: 直线 形状平行于x 轴第一象限垂直 于x轴第二象限的 大小的 范围的 增减性k=0无k0递增不存在无k0、k2时,k0 当 m0xpyO(1).kk3k13.直线的倾斜角为,则直线的斜率 为tan?4.任意直线有倾斜角,则任意直线都 有斜率?28数学应用如果直线l上一点P沿x轴方向向右平移2个单 位,再沿y轴方向向上平移4个单位后仍在直 线l上,那么该直线的斜率为多少?问题6:斜率为2问题7:直线l的斜率为2,将l向左平移1个单位得到 直线l1,则l1的斜率为多少? 斜率为2 问题8:平行直线的斜率之间有怎样的关系? 斜率相等或斜率都不存在29斜率为2的直线,经过点 (3,5),(a,7),(-1,b)三点,则a,b的值为( )A A、a=4,b=0a=4,b=0B B、a=-4,b=-3a=-4,b=-3C C、a=4,b=-3a=4,b=-3D D、a=-4,b=3a=-4,b=3C C30已知三点A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7), 求KAB,KBCK KABAB=2=2K KBCBC=2=2问题9: 如果KAB=KBC,那么A、B、C三点有怎样的关系?A A、B B、C C三点共线三点共线31判断下列三点是否在同一直线上(1) A(0,2), B(2,5), C(3,7)(2) A(-1,4), B(2,1), C(-2,5)如果三点如果三点A(1,1)A(1,1)、B(3,5)B(3,5)、C(-C(- 1,a)1,a)在一条直线上在一条直线上, ,求求a a的值的值(a=-3)(a=-3)32求过点M(0,2)和N(2,3m2+12m+13)(mR) 的直线l的斜率k的取值范围。问题10:直线斜率的大小与直线的倾斜程 度有什么联系?(课后研究)解:由斜率公式得直线l 的斜率333.平面解析几何的本质是 用代数方法 研究图形的几何性质,体现了数形结 合的重要数学思想。1.两个概念直线的斜率、倾斜角;2.两个问题- (1)已知直线上两点如何求斜率; (2)已知一点和斜率如何画出直线。34难点展示:例题一:直线 l 过点M(-1,1)且与以P(- 2,2)Q(3,3)为两端点的线段PQ有公共点, 求直线 l 的斜率的取值范围。例2。已知直线的斜率K的变化范围为( 1,1, 求直线的倾斜角的取值范围。分析:因为直线的斜率正负不同,直线的倾斜角范围也不 同,因此,应分斜率为负值和非负值两种情况讨论 。当K ( 1,0)时,当K 0,1 时,解: 直线斜率K的变化范围( 1,1=( 1,0) 0,1,所以直线的倾斜角范围为练习练习直线 的倾斜角 =30,直线 ,求 , 的斜率。解: 的斜率为的倾斜角为的斜率为oxy练习解:推导二:练习:已知直线l的一个方向向量解:,求直线的斜率。则直线的斜率为 :例1 如图 ,已知 ,求直线 AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还 是钝角解:直线AB的斜率直线BC的斜率直线CA的斜率由 及 知,直线AB 与CA的倾斜角均为锐 角;由 知,直线BC的倾斜角为钝角求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角: 方法:先用经过两点的直线的斜率公式求 斜率, 再求倾斜角。由 及 知,直线AB 与CA的倾斜角均为锐 角;由 知,直线BC的倾斜角为钝角由 及 知,直线AB 与CA的倾斜角均为锐 角;由 知,直线BC的倾斜角为钝角例2解:已知点P(0,-2),A(-1,2),B(2,3)经过点P的直线l 与线段AB有公共点时,求直线l的斜率k的取值范 围.Oxy.PAB已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三 点共线, 求a 的值.直线L的倾斜角是连接(3,-5),(0 ,-9)两点的直线的倾斜角的两倍, 求直线L的斜率。已知直线 和 的斜率分别是 和 ,求它们的倾斜 角及确定两条直线的位置关系。由图可知解:YOX1、直线的倾斜角的定义2、直线的斜率的定义3、两点间斜率公式当直线 l 与x轴相交时, 我们取x轴作为基准, x轴正向与直线 l 向上 方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角一条直线的倾斜角 的 正切值叫做这条 直线的斜率.
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