*范例8.5 平均速率和方均根速率以最概然速率为速率单位，麦克斯韦速率分布函数的形式是 什么？速率分布函数曲线有什么特点？求所有分子的平均速 率和方均根速率。分子速率在区间0v的分子数占总分子数 的比例的公式是什么？分子速率小于最概然速率、平均速率 和方均根速率的分子数占分子总数的比例为多少？解析利用公式 设x = v/vp，麦克斯韦速 率分布函数可表示为 这是无量纲的速率分布函数，归一化系数为 在v v + dv区间内的分子数为dN，总速率为vdN = N0vf(v)dv ，速率从0到积分可得全部分子的速率之和。这个和除以总分子数N0就 是所有分子的平均速率用分部积分法可得以最概然速率为速率单位，麦克斯韦速率分布函数的形式是 什么？速率分布函数曲线有什么特点？求所有分子的平均速 率和方均根速率。分子速率在区间0v的分子数占总分子数的 比例的公式是什么？分子速率小于最概然速率、平均速率和 方均根速率的分子数占分子总数的比例为多少？ 利用函数可简化计算。 函数的定义为当n为整数时，通过分部积分可直接证明(n) = (n 1)!。 利用变量替换， 容易证明当n = 4时，可 得平均速率*范例8.5 平均速率和方均根速率所有分子速率平 方的平均值为利用 可得方均根 速率为对于同一种气体，在相同的温 度下，平均速率、方均根速率 与最概然速率之比都是常量。 分子的平均 平动动能为分子中的3表示三个自由度，kT/2是所 有分子一个自由度的平均平动动能。温度越高，分子的平均平动动能 就越大，表示分子运动越剧烈。平均速率、方均根 速率与最概然速率 都能表示分子运动 的剧烈程度。*范例8.5 平均速率和方均根速率分子速率在区间 0v的分子数为利用麦克斯韦无量纲的速率 分布函数，上式可表示为 上式还可以 继续化简利用误 差函数这是用误差函数表示的解析式，不妨称为分子数函数。可 得当积分上限分别取1、和时， 由上式即可计算分子速率小于最概然速率、平均 速率和方均根速率的分子数占分子总数的比例。*范例8.5 平均速率和方均根速率分子速率小于等于 最概然速率的分子 数占分子总数的比 例是42.8%，分子 数小于总分子数的 一半。以最概然速 率vp为速率 单位，速率 分布曲线就 只有一条。任何一段曲线 下的面积都表 示分子数占总 分子数的比例 。而分子速率大于最概然 速率的分子占总数的比 例是57.2%，分子数大 于总分子数的一半。分子数大于总分子数的一半 。当速率大于最概然速率的 3倍时，分子数比例就很小 了。当 时，N/N0 是分子速率小于平均速 率的分子数占分子总数 的比例，这就是 53.31%，分子数越过 总分子数的一半。分子速率在0v 之间的分子数占 分子总数的比例 是v的单调增函 数，这是因为v 越大，0v之间 的分子数就越多 。当 时，N/N0是 分子速率小于方均根速率 的分子数占分子总数的比 例，这就是60.84%。 当v = 2.5vp时，分子速率 从0到v的分子数就占了全 部分子数的绝大部分。