第五章 非平稳时间序列模型5.1 ARIMA模型 5.2 季节模型5.3 残差自回归模型5.4 条件异方差模型引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的 建模和预测方法，即所讨论的时间序列都 是宽平稳的。一个宽平稳的时间序列的均 值和方差都是常数，并且它的协方差有时 间上的不变性。但是许多经济领域产生的时间序列都是 非平稳的，非平稳时间序列会出现各种情 形，如它们具有非常数的均值t，或非常 数的二阶矩，如非常数方差t2，或同时具 有这两种情形的非平稳序列。(长期趋势、季节性 变化)例1美国1961年1月至1985年12月1619 岁女性失业人数的月度序列如图所示：显然，均 值水平是 随时间改 变的.美国1871年至1979年的年度烟草生产 量序列如图所示：均值水平 是随时间 改变的， 同时方差 也随均值 水平的增 长而增长 .某地1987年至1996年某商品月销售量 序列如图所示：该序列的 季节特征 是明显的 ，季节周 期为12. 非平稳过程 ARIMA模型5.1 ARIMA模型 ARIMA模型的建立 疏系数模型 非平稳性的检验一 非平稳过程（一）平稳过程与非平稳过程的差异1、从统计属性看 平稳时间序列具有如下特性： （1）具有常定均值，序列围绕在均值周围 波动； （2）方差和自协方差具有时间不变性； （3）理论上，序列自相关函数随滞后阶数 的增加而衰减.非平稳时间序列不具有上述特性：（1）或者不具有常定的长期均值； （2）或者方差和自协方差不具有时间不变 性； （3）理论上，序列自相关函数不随滞后阶 数的增加而衰减.考虑如下例子：2、从图像特征看（1）平稳过程的时序图没有明显的趋势性 与周期性：序列的振动是短暂的，经过一 段时间以后，振动的影响会消失，序列将 会回到其长期均值水平；在不同时刻或时 段，序列偏离均值的程度基本相同.非平稳过程可观察出明显的趋势性与周期 性.（2）平稳过程的ACF与PACF呈指数（或 阻尼正弦波）衰减或截尾.非平稳过程的ACF一般呈线性缓慢衰减 ，PACF一般呈截尾.3、 从建模要求看平稳序列具有许多优良性质，一般可满足 建模的各种要求， 诸如参数估计、模型检 验等，传统方法均能获得良好效果.非平稳序列，因不满足若干统计分析方法 的基本假定，传统方法不再适用.（二） 均值非平稳过程1、均值非平稳的表现 （1）均值非平稳是指序列均值随时间的变 化而变化，是时间的函数，从而导致序列呈 现某种时间趋势. （2）时间趋势依其内在属性，分为确定性 时间趋势和随机性时间趋势. （3）对均值非平稳进行分析的首要工作是 ：由单个样本实现来构造均值函数，以刻画 相应的时间依赖现象.2、均值非平稳过程的描述 （1）确定性趋势模型刻画确定性时 间趋势 （2）随机趋势模型刻画随机性时间 趋势确定性趋势模型当非平稳过程均值函数可由一个 特定的时间趋势表示时，一个标准 的回归模型曲线可用来描述这种现 象。思路将非平稳过程的均值函数用一个时间的 确定性函数来描述.模型表达式数字特征因此，称均值的这种趋势为确定性趋势.为平稳过程 的方差。综上，具有确定性趋势的其均值为确定 性函数，方差为常数.为平稳过程的方差。此外，均值函数还可能是指数 函数、正弦余弦波函数等，这些 模型都可以通过标准的回归分析处 理。处理方法是先拟合出t的具体 形式，然后对残差序列yt=xt t 按平稳过程进行分析和建模。趋势平稳过程 若一均值非平稳过程可由模型（1）刻画 ，则称此过程为趋势平稳过程.趋势平稳过程由确定性时间趋势所主 导；对于趋势平稳过程，应选用退势的方 法获得平稳过程；趋势平稳过程的差分过程是过度差分 过程；对于趋势平稳过程，随机冲击只具 有有限记忆能力，其影响会很快消失 ，由其引起的对趋势的偏离只是暂时 的；（旋转） 对于趋势平稳过程，只要正确估计 出其确定性趋势，即可实现长期趋势 与平稳波动部分的分离。随机趋势模型随机趋势模型又称齐次非平 ARMA模型。为理解齐次非平稳 ARMA模型，可先对ARMA模型的 性质作一回顾。可见我们所能分析处理的仅是一 些特殊的非平稳序列，即齐次非平稳 序列。由于由于齐次非平稳序列模型恰有齐次非平稳序列模型恰有d d 个特征根在单位圆上，即有个特征根在单位圆上，即有d d个单位根个单位根 ，因此齐次非平稳序列又称单位根过，因此齐次非平稳序列又称单位根过 程。程。思路 从ARMA 模型的参数不满足平稳性条 件入手.例2 对于过程从其参数的不同取值范围讨论过程的属性 .齐次非平稳过程（差分平稳过程）通过一次或多次差分即可转化为平稳过程 的序列，差分次数即为齐次的阶数. 例3 考察过程有漂移项的随机游走过程.（随机游走）（1） 对过程进行一阶差分后，为平稳序列 称该过程为差分平稳过程； （2）辅助方程 ，令 ，得，有一单位根，该过程又称为单位根过 程 . （3）对 不断向后迭代，可得（4）自相关函数随机趋势非平稳序列 对于差分平稳过程，每个随机冲击都具有 长记忆性，方差趋于无穷，从而其均值毫无 意义.服从趋势平稳的时间序列与服从差分平稳的时间序列在图形上非常相似. 区分趋势平稳与差分平稳的主要方法单 位根检验法.退势平稳序列差分平稳序列对数的中国国民收入序列，近似于随机趋 势非平稳序列和退势平稳序列. 中国人口序列，近似于确定性趋势非平稳 序列 .平稳化方法确定性趋势的消除，可采取退势 方法获得平稳过程。对于非确定趋势，由于它是一个 慢慢的向上或向下漂移的过程，要判 断这种序列的趋势是随机性还是确定 性的十分困难，采取差分消除趋势， 效果很好。（回忆查分运算、解释平稳化原因）二、 非平稳性的检验（一）、通过时间序列的趋势图来判断 （二）、通过自相关函数(ACF)判断（三）、单位根检验（一）通过时间序列的趋势图来判断这种方法通过观察时间序列的趋势图来判 断时间序列是否存在趋势性或周期性。优点：简便、直观。对于那些明显为非平 稳的时间序列，可以采用这种方法。缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不 易用这种方法判断出来。（二）通过自相关函数(ACF)判断平稳时间序列的自相关函数(ACF)要么是截尾 的，要么是拖尾的。因此我们可以根据这个 特性来判断时间序列是否为平稳序列。若时间序列具有上升或下降的趋势，那么对 于所有短期的滞后来说，自相关系数大且为 正，而且随着时滞k的增加而缓慢地下降。（三）单位根检验(Unit root test)单位根检验 定义 通过检验特征根是在单位圆内还是 单位圆上（外），来检验序列的平 稳性 方法 DF检验 ADF检验 PP检验DF检验DF检验是Dickey和Fuller（1976）提出的单位根检 验方法。 DF检验有三种形式： 1、2、3、第一种形式或原假设相当于认为序列有一个单位根，备 则假设认为序列是一个平稳的一阶自回归 序列。第二种形式或原假设相当于认为序列是一随机游走序列 ，而备则假设认为序列是一个带有漂移项 平稳序列。第三种形式或原假设相当于认为序列是一个带有漂移项 的随机游走序列，而备则假设认为序列是 一个退势平稳序列。ADF检验ADF检验亦称增广（Augmented）DF检验， 是Dickey和Fuller提出的改进DF检验方法。 DF检验有三种形式：1、2、3、关于ADF（DF）检验的两点说明1、当被检验序列接近含有单位根但实为平稳 过程时，在有限样本，特别是小样本条件 下的单位根检验结果容易接受原假设，识 别为单位根过程，即检验功效降低。 2、应当注意，当被检验过程含有未发现的突 变点时，常导致单位根检验易于接受原假 设。三 ARIMA模型 （一）一般ARIMA模型 1、使用场合 差分平稳序列拟合2、模型结构在ARIMA(p,d q)模型中，若 p=0，则该模型也称为求和阶数 为(d,q)的滑动平均模型，简记为 IMA(d,q)；若q=0，则该模型也称 为求和阶数为(p,d)的自回归模型 ，简记为ARI(p,d)。 在ARIMA(p,d,q)模型的一般形式中， 还包含了一个0项，它在当d=0和 d0时所起的作用是非常不同的。 当d=0时，原过程是平稳的 当d1时， 0被称为确定趋势项。 在一般的讨论中，常将0项略去。3、ARIMA模型的性质平稳性：ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个自回 归辅助方程的根，其中p个在单位圆外，d 个在单位圆上.所以当 时 ARIMA(p,d,q)模型非平稳.ARIMA模型的方差齐性 时，原序列方差非齐性 1阶差分后，差分后序列方差齐性（二）特殊ARIMA模型1、 ARIMA(0,1,1)模型3、 ARIMA (1,1,1)模型2、 ARIMA (1,1,0)模型4、 ARIMA (0,1,0)模型（三） 单整序列 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳 的，就称原序列是一阶单整（integrated of 1 ）序列，记为I(1) ； 一般地，如果一个时间序列经过d次差分 后变成平稳序列，则称原序列是d 阶单整（ integrated of d）序列，记为I(d)； I(0)代表一平稳时间序列； 无论经过多少次差分，都不能变为平稳 的时间序列. 称为非单整的（non- integrated）； I(0)过程与I(1)过程的特性有本质差别.四 ARIMA 模型的建立ARIMA模型的建立 判断序列的非平稳性； 识别差分阶数； 对差分序列建立ARMA 模型； 对原序列建立ARIMA 模型.ARIMA模型建模步骤获 得 观 察 值 序 列平稳性 检验差分 运算YN白噪声 检验Y分 析 结 束N拟合 ARMA 模型差分阶数的判定 数据背景 数据图 ACF、PACF识别法 差分序列的平稳性检验法注 差分阶数不宜过高，否则会导致SACF产 生明显的震荡起伏(差分后可考察数据动荡 范围)； 由低阶开始，初步估计出d，拟合模型并 检验，接受模型，则d 适合；否则，用更 高阶d 对原数据进行ARIMA拟合，直至确定 出适当的d； 现实中，各经济序列一般通过低阶差分 (d=1,2)即可达到平稳(B-J )； （李子奈）现实经济生活中:1) 只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的 ，如利率等;2) 大多数指标的时间序列是非平稳的，如一些 价格指数常常是2阶单整的，以不变价格表 示的消费额、收入等常表现为1阶单整；3) 大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或 多次差分的形式变为平稳的.五 疏系数模型 ARIMA(p,d,q)模型是指d 阶差分后自相 关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q 的模型，通常它包含p+q个独立的未知 系数： 如果该模型中有部分自回归系数 或部分移动平均系数 为零，即 原模型中有部分系数省缺了，那么该模 型称为疏系数模型. 如果只是自回归部分有缺省系数，那么 该疏系数模型可以简记为 为非零自回归系数的阶数 如果只是移动平均部分有缺省系数，那 么该疏系数模型可以简记为 为非零移动平均系数的阶数 如果自相关和移动平滑部分都有缺省， 可以简记为5.2 季节模型 季节时间序列的特征 季节时间序列模型 季节模型的建立（一） 季节时间序列 1、一个时间序列，若经过s个时间间隔后 呈现出相似的特征，称该序列为季节时 间序列，周期为s .一 季节时间序列的特征2、季节时间序列按周期的重新排列 列一个矩阵式二维表，将每一周期内相同 周期点的值列在同一列上.周期点周期1234. s1X1X2X3X4Xs2Xs+1Xs+2Xs+3Xs+4X2s.nX(n-1)s+1X(n-1)