第二章 矩量法(Method of Moment) 2.1 引言 2.2 矩量法的一般过程 2.3 选配和离散过程 2.3.1 点选配 2.3.2 脉冲分域基 2.3.3 三角形函数分域基 2.4 算子研究 2.4.1 近似算子 2.4.2 扩展算子 2.4.3 微扰算子矩量法(简称MoM)，就其数值分析而言就是广义 Galerkin(伽略金)法。矩量法包括两个过程，离散化过程 和选配过程，从而把线性算子方程转化为矩阵方程。这 里先举一个简单的例子。例1无限薄导体圆盘上的电荷分布问题。试讨论半径为a的无限薄理想导体圆盘，在中心线 距离d处有一点电荷 ，如图5-17-1所示，求解导体圆盘 上的电荷分布。解 假设导体圆盘上电荷密度为 ，根据电 磁学的基本概念可知： (1) 由外加电荷Q在导体圆盘上产生的电位e 和导体圆 盘本身感应电荷密度所产生的电位i之和U 在盘上处 处相等，即保证导体圆盘是等位面。 (2) 由于本问题中是感应电荷，因此总电荷Qi0，其中图5-17-1导体圆盘上的电荷分布(5-17-1)(5-17-2)(5-17-3)于是，问题可写为(5-17-4) 式中r= ，其中打撇的表示源点，不打撇的表 示场点。这个问题，采用电磁学经典解析方法不能很好的解决，因 为未知量 处于积分内部，是一个典型的积分方程。为此， 把圆盘分割成两部分：中心小圆和外部环带(如图5-17-1所示) ，并假定每一部分内的电荷密度 (i=1,2)近似为常数，于是(5-17-5)式中(5-17-6) 称为脉冲函数，这时问题方程(5-17-4)成为(5-17-7)(5-17-8)把问题方程(5-17-4)近似的转化为式(5-17-7)和式(5-17-8)的过程 称为离散化过程。但是，必须注意到方程(5-17-7)中，场点r表 示圆盘上的任意点(x，y)，换句话它们是不定的，因而式(5-17- 7)中包含着无限个方程。另一方面，离散后的方程组(5-17-7) 和方程组(5-17-8)内只有三个未知数 、 和 ，于是方 程组超定。为了把超定方程组转化为唯一解的方程组，可以采用很多 办法。矩量法中，习惯用选配过程解决这个问题。简单说来， 即在每个离散的单元上只选取一个场点作为代表来建立方程。 例如，在例1中对于离散的 和 分别取 和 两点做试验点，如图5-17-2所示。具体写出方程组(5-17-9)其中图5-17-2 圆盘上的试验点其中表示 面元电荷在 处产生场的自作用单元；表示 面元电荷在 处产生场的自作用单元；表示 面元电荷在 处产生场的互作用单元；表示 面元电荷在 处产生场的互作用单元。又有(5-17-14)经过离散化过程和选配过程，将积分方程组(近似地)转化为矩 阵方程(5-17-15)由此得出电荷分布的解为(5-17-16)图 5-17-3 矩量法的一般过程 图5-17-3所示的矩量法求解问题的一般过程。 讨论 (1)矩量法的原问题并不限于积分方程，也可以是微分 方程或其他方程。但必须能抽象成算子方程。从这一点而言， 它是普遍的；另一方面，矩量法最终要转化为矩阵方程加以解 决。因此，原问题必须属于线性算子范畴。例如，最速下降线 所构成的积分方程 不是线性泛函，所以无法采 用矩量法。(2) 电磁理论中计算的矩阵单元，一般均表示某个源在一个区 域所产生的场，而实际产生的场往往都随着源的距离增加而减 少。换句话说，矩量法中矩阵一般是对角占优的：自作用单元 比互作用单元 所起的作用要大。这一点在概念 上十分重要。矩量法的研究对象是一般非齐次方程(5-17-17) 线性算子 的运算空间称为定义域，而 组成的空间称为值 域。式(5-17-17)中 是已知的激励函数， 为未知函数。令 在 的定义域内展开成 的组合，有(5-17-18)2.2 矩量法的一般过程其中表示矩阵转置，应该注意到：展开函数与基函数是有区 别的。一般来说，基函数是一无限展开。从完备基转化为近似 有限截断基已经构成误差了，再从有限截断基转化为有限展开 函数就很难保证 能收敛于 ，这也是矩量法的研究 中需要深入研究的一个问题。这里且写出(5-17-19)而从算子方程(5-17-17)到式(5-17-19)即构成离散化过程。它可以 是函数离散，也可以是区域离散，或两者兼有。现在规定适当的内积 。在算子L的值域内定义一类权 函数(或检验函数) ,作用于式(5-17-19)两边， 且取内积，有(5-17-20)这就是所谓的选配过程或试验过程，矩量法的名称也由此 而来，即把激励矢量 和 分别向权空间投影，取它 的矩，根据矩的大小确定展开系数。如果展开函数的数目与权函数数目相等，则可把式(5 -17-20)写成矩阵形式(5-17-21) 其中(5-17-22) 于是可以解出 (5-17-23) 若规定函数矩阵(5-17-24) 于是待求的函数为(5-17-25) 矩量法的一般过程的数学表示如图5-17-4所示。 十分清楚，矩量法的结果优劣取决于：离散化程度； 和 的选取；线性方程组的求解。在 = 的特 殊情况下，可称为Galerkin(伽略金)法，于是矩量法也称 为广义Galerkin法。图5-17-4 矩量法一般过程的数学表示例2研究 ，其中解 已经知道，此问题存在精确解本例采用矩量法求解，选择再选择权函数即采用Galerkin法，内积定义为于是可给出一般计算结果归纳起来有 情况1：N=1于是有情况2: N=2情况3: N=3十分明显，N=3时已得到了精确解 。 矩量解的曲 线如图5-17-5所示。 图5-17-5 u (x)矩量解第二章 矩量法(Method of Moment)2.3 选配和离散过程 2.3.1 点选配 2.3.2 脉冲分域基 2.3.3 三角形函数分域基 2.4 算子研究 2.4.1 近似算子 2.4.2 扩展算子 2.4.3 微扰算子2.3 选配和离散过程 从上面的典型例子可知，矩量法的精华在于选配和 离散过程，值得单独进行研究。2.3.1点选配点选配是一种最简单而最典型的选配函数。因为矩阵 单元为 ，一般说来，其中所含的积分计算 十分困难，这种情况下，最简单的办法是做某些点的投影 ，即所谓的点选配，实际上相当于把权函数取为 函数。例3 任研究 。解 设 ，在这个例子中取 函数为权函数即其中， 是这个问题的选配点，于是有例3 任研究 。解 设 ，可得到在这个例子中取 函数为权函数即其中， 是这个问题的选配点，于是有归结起来，可写出情况1: N=1情况2: N=2情况3: N=3可以得出对于点选配情况N=3，又一次回复到精确解。讨论 (1) 对于点选配的情况，N+1阶矩阵中的N阶主子阵并不等 于在N时的系数矩阵(和Galerkin情况不同)。因此当N逐渐 变大时计算量无法节约。(2) 点选配虽然看起来非常简单，然而其内在的道理极其 深刻。这一点可以从数值积分看出。研究表明任何数值积 分方法，不论矩形、梯形、二次样条等，说到底都是选择 积分区域的点和区域点所对应的系数，由此产生Gauss积 分的思想。所以在矩量法中，研究最佳点选配将是一个十 分有意义的课题 。2.3.2脉冲分域基矩量法在离散化过程中用展开函数取代基函数，带来 了方便和自由。但是，随之而来的如何确保解的收敛性的 问题却值得人们重视。在尚未了解u(x)函数性态的条件下，采用有限个展开 函数ui(x)，i=1，2，.，N时要确保解收敛显然在理论上 存在不少困难，采用分域基函数可以说是比较稳妥的一种 解决方案。因为大多数良态函数(不做高速振荡)均可以采 用有限段直线或样条加以逼近，如图5-17-6所示。图5-17-6 分域基函数近似 下面从最简单的脉冲函数着手展开讨论。一般的脉冲函数可以表述为(5-17-26) 式(5-17-26)表示以i为中点，密度为1/(N+1)的脉冲函数 ，在实际情况下，密度可以根据问题灵活改变，如图5-17- 7所示。图5-17-7 脉冲函数 图5-17-8 三角形函数 2.3.3三角形函数分域基三角形函数也是常用的一种分域基，如图5-17-8所示。若采用三角形函数展开未知函数(x)，则有(5-17-27)所得的解的合成相当于折线连接，分段三角形函数所得的 折线包络如图5-17-9所示。为了研究具体例子，这里先给出三角形函数的导数概 念。引入如图5-17-10所示的阶梯函数H(x-xi)，其定义为图5-17-9 分段三角形函数所得的折线包络图5-17-10 H(x-xi) 函数 (5-17-28) 再引入大家熟悉的Dirac-函数，也即脉冲函数，其定义 为(5-17-29)如图5-17-11所示。图5-17-11 (x-xi)函数 Dirac-函数有两个重要的性质： 1.归一性(5-17-30)2.选择性(5-17-31)这里不加证明的给出Dirac-函数和阶梯函数之间的 重要关系。(5-17-32) 有了以上基础就可以把三角形函数的导数用阶梯函数H表 示，具体为(5-17-33) 图5-17-12给出形象的几何表示。图5-17-12 三角形函数导数的几何表示 例4 重新研究Harrington(哈林登)问题，L(u)=g，其中L= ，g= ，边界条件为u(0)=u(1)=0。试用以三角函数作为展开函数，脉冲函数作为权函数的矩 量法求解。解 根据要求可写出于是有上式已计及选择权函数于是矩阵单元上式要分三种情况讨论。此外，激励单元为结果可归纳为情况1：N=1考虑到对比： 则有 和 的对比如图5-17-13所示。图 5-17-13 和 情况2：N=2l= g= 容易得到 同样对比有和 的 对比图如图5-17-14所示。图 5-17-14 和 情况3：N=3于是有 同样对比有 和 的 对比图如图5-17-15所示图 5-17-15 和 讨论 分域基在N不大的情况下与精确解的差距是明显的 。但是它的相应矩阵是三条带矩阵，可较明显地缩小计算 量。因此选择N不大的分域基并进行顶点拟合将会是一个 比较好的方案。2.4 算子研究算子方程是矩量法建模的关键。它应该有两个方面 的要求：一方面算子方程必须符合物理(或工程)问题的主要本 质；另一方面它又必须适合数值计算。这两个方面构成了算子研究的基础。2.4.1 近似算子细心的读者一定会提出这样一个问题，即例4中为什么不采用 脉冲函数作为分域基展开？其实原因十分简单，因为脉冲函数的二 阶导数表示有很大困难。但是，倘若引进近似算子的概念，则可以 较好地解决这个问题。算子近似含义相当广泛。作为例子，可采用有限差分代替微分 。例5 研究 的Harrington问题，即, ,试采用差分近似算子 ,脉冲 展开点选配的矩量法求解。（做一般了解）解 为确保 的边界条件，在两端各留出半 段为强制零段。因此当选择N个脉冲函数时，全部区域 (0,1)应分成(N+1)段。即于是有且做点选配有这样可以获得矩阵单元 的表示式可以归纳为 情况1：N=1 =8 ， 于是得到