8.4 多元复合函数的求导法则上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页设zf(u v w) u(t) v(t) w(t) 则 下页定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v) 在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf(t) (t)在点 t可导 且有定理1的推广 v中间变量为一元函数的情形 上页下页铃结束返回首页设zf(u v) u(t) v(t) 则 定理2 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及 y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复 合函数zf(x y) (x y)在点(x y)的两个偏导数存在 且有 v中间变量为多元函数的情形 定理1的推广 设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则 下页上页下页铃结束返回首页设zf(u v) u(x y) v(x y) 则例1 解 exyy sin(xy)cos(xy) eusin v 1 eucos v y eusin v exyx sin(xy)cos(xy)1eucos v x 设zf(u v) u(t) v(t) 则 下页上页下页铃结束返回首页设zf(u v) u(x y) v(x y) 则设zf(u v) u(t) v(t) 则 讨论 提示 下页上页下页铃结束返回首页下页设zf(u x y) 且u(x y) 则 例2 解 上页下页铃结束返回首页etcos tetsin tcos t v cos t u et (sin t) 下页解 et(cos tsin t)cos t 上页下页铃结束返回首页引入记号 提示 提示 解 令uxyz vxyz 则wf(u v) 下页例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数 上页下页铃结束返回首页应用复合函数求导法则 得 例5 设uf(x y)具有连续的偏导数 把 转换成极坐标系中的形式 两式平方后相加 得 解 uf(x y)f(cos sin)F( ) 下页上页下页铃结束返回首页设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分v全微分形式不变性如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具 有连续偏导数 则 下页上页下页铃结束返回首页由此可见 无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性 下页设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分v全微分形式不变性如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具 有连续偏导数 则 上页下页铃结束返回首页例6 设zeusinv uxy vxy 利用全微分形式不变性求全 微分 解 exyysin(xy)cos(xy)dx (yeusinveucosv)dx(xeusinveucosv)dy eusinv eusinv exyxsin(xy)cos(xy)dy dv eucosv du (dxdy) eucosv (ydxxdy) 结束