第二节 幂级数一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质四、典型例题五、小结与思考1一、幂级数的概念1.复变函数项级数定义其中各项在区域 D内有定义.表达式称为复变函数项级数, 记作 2称为这级数的部分和.级数最前面n项的和和函数3称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定42. 幂级数当或函数项级数的特殊情形或这种级数称为幂级数.5二、幂级数的敛散性1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)如果级数在收敛,那末对的级数必绝对收敛, 如果在级数发散, 那末对满足的级数必发散.满足阿贝尔介绍6证由收敛的必要条件, 有因而存在正数M, 使对所有的n, 7而由正项级数的比较判别法知:收敛.另一部分的证明请课后完成.证毕82. 收敛圆与收敛半径对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种:(1) 对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.9例如, 级数对任意固定的z, 从某个n开始, 总有于是有故该级数对任意的z均收敛.10(2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散.此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收敛的正实数.例如,级数通项不趋于零, 如图:故级数发散.11收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域.12答案:幂级数的收敛范围是何区域?问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.注意问题2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?13例如, 级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.143. 收敛半径的求法方法1: 比值法(定理二):那末收敛半径证由于收敛.15据阿贝尔定理,根据上节定理三,16所以收敛半径为证毕即假设不成立 .17如果:即注意:存在且不为零 .定理中极限(极限不存在),即18答案课堂练习 试求幂级数的收敛半径.19方法2: 根值法(定理三)那末收敛半径说明:(与比值法相同)如果20三、幂级数的运算和性质1.幂级数的有理运算212. 幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满足那末当时,说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.22定理四设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到, 是收敛圆内的解析函数 .(1)3. 复变幂级数在收敛圆内的性质23(3)在收敛圆内可以逐项积分, 简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导, 逐项积分.(常用于求和函数)即24四、典型例题例1 求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为25级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知:在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1,26例2求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论时的情形)或解(1)因为27所以收敛半径即原级数在圆内收敛, 在圆外发散, 收敛的级数 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周上, 级数28说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有级数的发散点.原级数成为交错级数, 收敛.发散.原级数成为调和级数，(2)29故收敛半径例3求幂级数 的收敛半径:解30解所以例4 求 的收敛半径.31例5 把函数表成形如的幂级数, 其中是不相等的复常数 .解把函数写成如下的形式:代数变形 , 使其分母中出现凑出32级数收敛,且其和为33例6 求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以34例7 求级数的收敛半径与和函数.解35例8 计算解36五、小结与思考这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质.37思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?38由于在收敛圆周上确定, 可以依复数项级数敛散性讨论.思考题答案放映结束，按Esc退出.39阿贝尔资料Born: 5 Aug 1802 in Frindoe (near Stavanger), Norway Died: 6 April 1829 in Froland, NorwayNiels Abel40