一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线86 多元函数微分学的几何应用 上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、空间曲线的切线与法平面下页设空间曲线的参数方程为x(t) y(t) z(t) 这里假定(t) (t) (t)都在 上可导 设tt0和tt0t分别对应于曲线上的 点M0(x0 y0 z0)和M(x0+x y0+y z0+z) 当MM0 即t0时 作曲线的割线MM0 其方程为 得曲线在点M0处的切线方程为 上页下页铃结束返回首页设空间曲线的参数方程为x(t) y(t) z(t) 这里假定(t) (t) (t)都在 上可导 过曲线上tt0所对应的点M0切线方程为向量T(t0) (t0) (t0)称为曲线在点M0的切向量 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法 平面 其法平面方程为 (t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0 下页一、空间曲线的切线与法平面上页下页铃结束返回首页解 xt1 点(1 1 1)所对应的参数t1 因为 zt3t2 yt2t 于是 切线方程为所以切向量为T(1 2 3) 法平面方程为即x2y3z6 (x1)2(y1)3(z1)0下页例1 求曲线xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面 方程 曲线x(t) y(t) z(t)在tt0所对应的点M0的切向量 为T(t0) (t0) (t0) 上页下页铃结束返回首页讨论1 若曲线的方程为y(x) z(x) 则切向量T? 提示 1 曲线的参数方程可视为 xx y(x) z(x) 切向量为T (1 (x) (x) 下页曲线x(t) y(t) z(t)在tt0所对应的点M0的切向量 为T(t0) (t0) (t0) 2 若曲线的方程为F(x y z)0 G(x y z)0 则切向量T? 2 两方程可确定两个隐函数 y(x) z(x) 切向量为T (1 (x) (x) 而(x) (x)要通过解方程组得 到 上页下页铃结束返回首页例2 求曲线x2y2z26 xyz0在点(1 2 1)处的切线及 法平面方程 解 方程组在点(1 2 1)处化为 为求切向量 将所给方 程的两边对x求导数 得 所求切线方程为从而T 1 0 1法平面方程为(x1)0(y2)(z1)0 即 xz0 首页上页下页铃结束返回首页二、曲面的切平面与法线因为曲线在曲面上 所以有F(t)(t)(t)0 向量 n(Fx(x0y0z0) Fy(x0y0z0) Fz(x0y0z0)与曲线上点 M0处的切向量T (t0)(t0)(t0)是垂直的 Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0 等式的两边在tt0点求全导数得下页设M0(x0 y0 z0)是曲面 F(x y z)0上的一点 是曲面 上过点M0的任意一条曲线 x(t) y(t) z(t) tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 其参数方程为 上页下页铃结束返回首页二、曲面的切平面与法线向量 n(Fx(x0y0z0) Fy(x0y0z0) Fz(x0y0z0)与曲线上点 M0处的切向量T (t0)(t0)(t0)是垂直的 设M0(x0 y0 z0)是曲面 F(x y z)0上的一点 是曲面 上过点M0的任意一条曲线 x(t) y(t) z(t) tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 其参数方程为 曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个 平面上 这个平面称为曲面在点M0的切平面; 通过点M0而垂 直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 v曲面的切平面与法线下页上页下页铃结束返回首页v曲面的切平面方程 曲面在点M0(x0 y0 z0)的切平面方程为Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0 v曲面的法线方程曲面通过点M0(x0 y0 z0)的法线方程为v曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0) 是曲面在点M0(x0 y0 z0)处的一个法向量 下页上页下页铃结束返回首页例3 求球面x2y2z214在点(1 2 3)处的切平面及法线方 程 F(x y z) x2y2z214 解 Fx2x Fy2y Fz2z Fx(1 2 3)2 Fy(1 2 3)4 Fz(1 2 3)6 法向量为n(2 4 6) 法线方程为 或n(1 2 3) 下页曲面 F(x y z)0在点M0(x0 y0 z0)处的法向量为 n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0)即x2y3z140 (x1)2(y2)3(z3)0 所求切平面方程为 上页下页铃结束返回首页讨论若曲面方程为zf(x y) 问曲面的切平面及法线方程式是 什么形式? 提示此时曲面方程可写为f(x y)z0 F(x y z)f(x y)z 切向量为n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1)下页曲面 F(x y z)0在点M0(x0 y0 z0)处的法向量为 n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0)上页下页铃结束返回首页例4 求旋转抛物面zx2y21在点(2 1 4)处的切平面及法 线方程 解 f(x y)x2y21 n(fx fy 1)|(2 1 4) (2x 2y 1)|(2 1 4) (4 2 1) 结束法线方程为 即 4x2yz60 4(x2)2(y1)(z4)0 所以在点(2 1 4)处的切平面方程为 曲面 zf(x y)在点M0(x0 y0 z0)处的法向量为 n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1)