Nearly Free Electron Model通过模型的讨论，了解在周期场中运动的电子本征 态一些最基本的特点。一维周期场中电子运动的近自由电子近似模型和微扰计算 Nearly free electron model 金属中电子受到原子实周期性势场的作用 假定势场的起伏较小零级近似 用势场平均 值代替原子实产生的势场周期性势场的起伏量作为微扰来处理1）零级近似下电子的能量和波函数 一维N个原子组成的金属链，金属的线度零级近似下薛定谔方程波函数和能量本征值波函数满足 正交归一化 l 为整数2）微扰下电子的能量本征值 哈密顿量满足周期 边界条件根据微扰理论，电子的能量本征值一级能量修正平均势场 的定义二级能量修正 按原胞划分写成 引入积分变量 利用势场函数的周期性i) ii) 将 和 代入 周期场V(x)的第 n个傅里叶系数二级能量修正式计入微扰后电子的能量 3）微扰下电子的波函数 电子的波函数波函数的一级修正计入微扰电子的波函数令可以证明电子波函数 具有布洛赫函数形式 电子波函数的意义 i) 电子波函数和散射波 波矢为k的 前进的平面波 平面波受到周期性势 场作用产生的散射波散射波的波矢相关散射波成份的振幅xaninnikxikx keankkmVeLeLxppy2222 )2(211)( +-+= h散射波散射波成份的振幅波函数一级修正项 微扰法不再适用了ii) 电子波函数和不同态之间的相互作用掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数在原来的零级波函数 中 它们的能量差越小掺入的部分就越大当 时 两个状态具有相同的能量 导致了波函数的发散 电子能量的意义二级能量修正当 电子的能量是发散的 k和k两个状态具有相同的能量，k和k态是简并的4）电子波矢在 附近的能量和波函数 简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成状态 是一个小量周期性势场中，对其有主要影响的状态 只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响状态 对状态 的影响简并波函数薛定谔方程考虑到得到分别以 或 从左边乘方程，对 x 积分利用线性代数方程a, b有非零解能量本征值和i)波矢k离 较远，k状态的能量和状态k差别较大将 按 泰勒级数展开 k和k能级相互作用的结果是原来能级较高的k提高原来能级较低的k下压 量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级，总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了 能级间“排斥作用” ii)波矢k非常接近 ，k状态的能量和k能量差别很小将 按 泰勒级数展开Comments i) 两个相互影响的状态k和k微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态 ，能量提高；原来能量低的状态能量降低两个相互影响的状态k和k微扰后，能量变为E+和E-ii) 当 0 时 0, 0, 0 两个方向当0的共同极限2. 能带和带隙（禁带） 零级近似下，将电子看作是自由粒子，能量本征值曲线为抛物线 微扰情形下：电子的k不在n/a附近时，与k状态相互 作用的其它态的能量与k状态的零级能量相差大即满足 抛物线 可忽略当电子的 和 两种情形时 微扰计算中，只考虑以上两种状态之间的相互作用在 存在一个的态 ，和 状态能量相近存在一个状态 ，和 状态能量相同由于周期性势场的微扰，能量本征值在 处断开能量的突变能量本征值在断开两个态的能量间隔 禁带宽度电子波矢取值 对于一个l，有一个量子态k能量本征值 当N很大时，Ek视为准连续 由于晶格周期性势场的影响，晶体中电子准连续的能级分裂为一系列的能带能量本征值在 处断开 结果分析讨论 1) 能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲2) 禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处3) 禁带的宽度 取决于金属中势场的形式 在带隙中不存在能级 能带及一般性质 总结自由电子的能谱是抛物线型 晶体弱周期性势场的微扰，电子能谱在布里渊边界产生了宽度 的禁带 发生能量跃变 在远离布里渊区边界，近自由电子的能谱和自由电子的能谱相近 每个波矢k有一个量子态，当晶体中原胞的数目趋于无限大时，波矢k变得非常密集，这时能级的准连续分布形成了一系列的能带 各能带之间是禁带, 在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级能带序号k的范围k的长度布里渊区第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区 一维布喇菲格子，能带序号、能带所涉及波矢k的范围和 布里渊区的对应关系一维布喇菲格子，能带序号、波矢k和布里渊区对应关系 每个能带中包含的量子态数目波矢k的取值 k的数目每个能带对应k的取值范围各个能带k的取值数目 原胞的数目 计入自旋，每个能带中包含2N个量子态电子波矢和量子数简约波矢的关系 第一布里渊区近自由电子中电子的波矢在一维情形中 m为整数简约波矢 的取值范围平移算符本征值量子数k（简约波矢，计为 ）和电子波矢k之间的关系 l 为整数电子的波函数可以表示为 晶格周期性函数将 代入 晶格周期性函数 晶体中电子的波函数 利用电子波矢和简约波矢的关系，电子在周期性势场中的波函数为布洛赫函数用简约波矢来表示能级 电子的能级 m为整数，对应于不同的能带电子波矢k和简约波矢 的关系 第一能带位于简约布里渊区，其它能带可以通过倒格矢移到简约布里渊区 每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像，得到所有能带在简约布里渊区的图像 简约波矢的取值被限制在简约布里渊区(IBZ)，要标志一个状态需要表明： 1) 它属于哪一个能带（能带标号）2) 它的简约波矢 是什么？ 用简约波矢来表示零级波函数零级波函数将 代入得到 与用简约波矢表示能带一样，必须指明波函数属于哪一个能带 周期性势场的起伏只使得不同能带相同简约波矢 的状态之间的相互影响 对于一般的 （远离布里渊边界）这些状态间的能量相差较大，在近自由电子近似的微扰计算中，采用非简并微扰简约波矢 及其 附近，存在两个能量相同或能量相近的态，需要简并微扰理论来计算结果表明在 和 不同能带之间出现带隙 禁带n近自由电子近似：假定周期场的起伏比较小，作为 零级近似，可以用势场的平均值