4.4 控制系统根轨迹绘制示例规则180o等相角根轨迹0o等相角根轨迹连续性、对称 性和分支数根轨迹是连续且对称于实轴的曲线 。其分支数等于开环有限零点和极 点数目中的大者。同左起点和终点起始于开环极点，终止于开环零点同左渐进线条数：n-m同左与实轴交点：同左与实轴夹角：实轴上根轨迹 若实轴上某点右边的开环有限零点 和有限极点数目之和为奇数，则该 点是根轨迹上的点若实轴上某点右边的开环有 限零点和有限极点数目之和 为偶数（包括0），则该点 是根轨迹上的点4.4 控制系统根轨迹绘制示例分离(会合) 点分离（会合）点为方程: 的根同左分离（回合）点处的根轨迹增益：同左出射、入射 角出射角：出射角：入射角：入射角：与虚轴的 交点令s=jw，带入闭环特征方程求w 和kg。或用劳斯判据求临界稳 定时的闭环特征根。同左闭环特征 根之和与 之积同左根据上述根轨迹绘制规则，可以画出控制系统完整的根轨迹图。应当指出的是，并不是每一个系统的根轨迹绘制都要全部使用 上述基本规则。根据系统的不同，有时只使用部分规则就可以绘 制出完整的根轨迹。手工绘制控制系统根轨迹的步骤:标注开环极点“ ”和零点 “ ”；确定根轨迹的分支数； 确定实轴上的根迹区间；确定n-m条渐进线；计算分离(会合)点；计算极点处的出射角和零点处的入射角；计算根轨迹与虚轴的交点； 利用前几步得到的信息绘制根轨迹。4.4 控制系统根轨迹绘制示例例4.3.1 已知反馈控制系统的特征方程是试绘制当kg从0变化时的根轨迹。 解： 根据要求，采用180o等相角根轨迹绘制规则进行绘制 。系统的根轨迹方程为： 系统的开环极点和零点为： 根轨迹的分支数：根轨迹有两条分支，分别起始于开环极点-p1，-p2处，终 止于开环零点-z1，-z2处。 实轴上的根轨迹区间为： -4，0 根轨迹的渐近线：开环极点与开 环零点的数目相同，该根轨迹没有 渐进线。 分离（会合）点：令 代入方程 有： s1=-1.24是根轨迹的会合点，s2=3.24不是根轨迹上的点， 应该舍去，即根轨迹没有分离点。会合点对应的根轨迹增 益为： 出射角：先求开环极点-p1处的出射角。画出各个开环零点和极点（除了 -p1）到-p1的向量，并标出每个向 量的相角，分别为a1,a2,b1。 出射角为：根轨迹与虚轴的交点： 系统的闭环特征方程为： 劳斯阵列如下：由于kg0，劳斯阵列中没有全为零的行。所以，根轨迹与虚轴没有交点。根轨迹如下： n 实轴上根轨迹区间是：-2，0。n 渐进线倾角： 与实轴的交点为：例4.3.2系统的开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。n 标出四个开环极点：0，-2，-3j4。有四条根轨迹。解： 对于本例系统的根轨迹，题目中没有指明kg的取值范围。 通常，没有特别指明kg的范围时，按180o根轨迹绘制规则进行绘 制。 n -3+4j处的出射角q1 ：根据对称性，可知-3-j4处的出 射角 为：n 与虚轴的交点：闭环特征方程为： 劳斯阵为：当劳斯阵某一行全为零时，有共 轭虚根。这时， 。辅助方程为： ， 解得共轭虚根为： 即为根轨迹与虚轴的交点。n 会合点与分离点（重根点）：分离角为由 得：由上式可求出分离点。但高阶方程求解困难，可采用下述 近似方法：我们知道，分离点在负实轴-2，0区间上，所以当s在实 数范围内变化时， 最大时为分离点。6.2811.4915.5918.4720.020.0118.2814.578.58-2.0-1.8-1.6-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2s可见分离点约为-0.8。n 绘制根轨迹，如下图所示。-4-3-2-1012-5-4-3-2-1012345Real AxisImag Axis例4.3.3已知负反馈控制系统的开环传递函数为：试画出当-kg+时的根轨迹。 解： 1当0kg+时，绘制180o等相角根轨迹。 n 系统的开环极点和零点分别为： n 根轨迹的分支数：根轨迹有三条分支，分别起始于开环极点 ，终止于开环零点 和无穷远处。 n 实轴上的根轨迹区间为(-，-3，-1，0 n 渐近线：由于开环极点数-开环零点数=1，所以根轨迹有一条 渐进线。 渐进线的倾角为： 与实轴的交点为： n 分离（会合）点：由式 可求得：在根轨迹上，是会合点。 不在根轨迹 上，应该舍去。 n 根轨迹与虚轴的交点：闭环系统的特征方程为： 将s=jw代入其中并整理得： 解得： 2当kg0时，绘制0o等相角根轨迹。 n 实轴上的根轨迹区间为：-3，-1和0，+) n 渐近线：开环极点数-开环零点数=1，则该根轨迹有一条渐进线。渐进线的倾角为： n 分离（会合）点：计算方法如1。s=-6.65不在根轨迹上，应该舍去。 s=-1.35是会合点。 n 根轨迹与虚轴的交点：闭环系统的特征方程: 劳斯阵列中没有全为零的行。故根轨迹 与虚轴没有交点。 例4.3.4：系统结构如图 所示，绘制以为参变量 的根轨迹，并讨论速度反 馈对系统阶跃响应的影响 。-解：先求等效开环传递函数。 此时系统特征方程为令 ，等效开环传函为画参量根轨迹 开环极点为5.4、 0.3j1.292，开环零点为 。 渐近线： 出射角：讨论n *=0，此时闭环极点为等效开环极点，即5.4、0.3j1.292，此时 =5.4/0.3=18，可看作二阶系统。 =0.226，%=48.2%，ts=10sn *=5.375，此时闭环极点为4、1j1.17，此时=4/1=4，若看作二 阶系统则：=0.65，%=6.8%，ts=3sn *=7.75，此时闭环极点为2、2j0.866，此时=2/2=1，已 不能看作二阶系统。n *=9.5，此时闭环极点为-0.5604 、 -2.7198 + j3.0910 ， -2.7198 - j3.0910,此时可看作一阶系统。例4.3.5 设控制系统的方块图如图所示，试绘制系统的根 轨迹。解将系统的方块图作等效变换，如下图所示。 其开环传递函数为：上式具有公因子s+1，可以互相抵消。抵消后的开环传递函数 为： 按照公因子抵消前后绘制的根轨迹是不同的，抵消后的系统特征方程的阶次下降一次。这时的根轨迹图不能表示闭环特 征方程的全部根，只能表示抵消化减后的特征方程的根。为了得到全部的闭环极点，必须将开环传递函数Gk1(s)中抵消掉的极点，加到从开环传递函数Gk2(s)根轨迹图中得到的闭环 极点中去。特别地，从Gk1(s)中抵消掉的极点是系统的闭环极点 ，这可以从下图中看出。因此，在遇到系统开环传递函数有零、极点相抵消的情况时，可先根据相抵消后的开环传递函数绘制出根轨迹，然后在根轨 迹图中补充相抵消的零、极点。例6 设控制系统开环传递函数为试作闭环根轨迹。例7 单位正反馈系统的开环传递函数为试绘制根轨迹。小结v 手工绘制180度根轨迹的步骤；v 手工绘制0度根轨迹的步骤；v 参量跟轨迹的绘制步骤；v 180度根轨迹和0度根轨迹的关系。