概率论与数理统计连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 随机变量的分布函数随机变量的分布函数11 o2 o1. 连续型r.v及其密度函数的定义一、连续型随机变量及其概率密度3 o设X是随机变量，如果存在定义在整个实 数轴上的函数f(x) ,满足条件且对于任意两个实数a,ba可以为b可以为则称 X为连续型r.v,称 f(x)为 X 的概率密度函 数，简称概率密度.2故 X的密度f (x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.若 x 是 f (x) 的连续点，则：= f (x)对 f(x)的进一步理解:3要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的 值，并不反映X取值a的概率. 若不计高阶无穷小，有：但是，这个高度越大，则X取a附近的值 的概率就越大. 即在某点密度曲线的高度反映 了概率集中在该点附近的程度. = f(x)f (x)xoa4连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值因为：注意:由此得，1） 对连续型 r.v X,有52) 由P(X=a)=0 可推知而 X=a 并非不可能事件并非必然事件称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0, 不能推出由P(B)=1, 不能推出 B=S6若 r.vX的概率密度为：则称X服从区间( a, b)上的均匀分布，记作：X U(a, b)它的实际背景是： r.v X 取值在区间(a, b) 上，并且取值在(a, b)中任意小区间内的概率 与这个小区间的长度成正比.1. 均匀分布二、三种重要的连续型随机变量7例1 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来 一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻 有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是 7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车 时间少于5 分钟的概率. 解：依题意， X U ( 0, 30 ) 以7:00为起点0，以分为单位8为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到 达车站.所求概率为：从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00， 7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3. 9则称 X 服从参数为 的指数分布.指数分布常用于可靠性统计研究中，如 元件的寿命（无记忆性）.若 r.v X具有概率密度常简记为 XE( ) .2. 指数分布10若 r.v X的概率密度为记作 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.其中 和 都是常数， 任意， 0， 则称X服从参数为 和 的正态分布. 3.正态分布11标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数用 表示12为了对离散型的和非离散型的 r.v以及 更广泛类型的r.v给出一种统一的描述方法， 我们引进分布函数的概念.三、随机变量的分布函数1、定义： 设 X 是一个 r.v，x是任意实数，称为 X 的分布函数. 记作 X F(x) 或 FX(x).| x 13由定义，对任意实数 x11， F (x) = 1对21例5 在区间 0，a 上任意投掷一个质点， 以 X 表示这个质点的坐标. 设这个质点落在0, a中任意小区间内的概率与这个小区间的长 度成正比，试求 X 的分布函数.解： 设 F(x) 为 X 的分布函数， 当 x a 时，F(x) =1当 0 x a 时， P(0 X x) = kx (k为常数 )22由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/aF(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x)=x / a这就是在区间 0，a上服从均匀分布的 随机变量的分布函数.当 0 x a 时， P(0 X x) = kx (k为常数 )23求 F(x).例6 设由于f(x)是分段 表达的，求F(x)时 注意分段求.24=01F(x)25例7 设r.vX的分布函数为（1） 求X取值在区间（0.3,0.7）的概率；（2） 求X的概率密度.解: (1) P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4(2) f(x)=注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数 在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在没意义的点处，任意规定 的值.26