第十章曲线、曲面积分 小结一 基本要求 1理解两类曲线和曲面积分的概念,了解 两类积分的性质以及两类积分的关系. 2掌握计算两类曲线、曲面积分的方法. 3掌握格林公式并会运用平面曲线积分 与路径无关的条件. 4. 掌握高斯公式,并会用公式求曲面积分. 5会用曲线积分和曲面积分求一些几何 量与物理量（弧长,质量,重心,转动惯量, 引力、功和流量等）. 二.要点提示弧微分设L：（1）对弧长（第一类）1.曲线积分的计算化为定积分计算（2）对坐标（第二类）设L：有方向2曲面积分的计算（化为二重积分）若（1）对面积（第一类）的曲面积分向xoy面的投影为 则投影投影（2）对坐标（第二类）的曲面积分若 上侧，则若 下侧，则有方向3.格林公式- 平面上曲线积分与二重积分的关系4.曲线积分与路径无关的条件L取正向.以及等价关系.设有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成,5.高斯公式 曲面积分与三重积分的关系6.两类积分之间的关系：的法向量L的切向量曲线:曲面:三.两类曲线(曲面)积分的典型问题一般曲线积分化成定积分计算，一般曲面积分化成二重积分计算，封闭曲线的积分利用格林公式化为二重积分.封闭曲面的积分利用高斯公式化为三重积分.第一类曲线积分的求法 1.基本方法：由积分曲线的表达式求出弧微分元素，定积分定限：下限小于上限.将积分曲线代入被积函数，2.利用积分性质:解 3.计算中注意利用对称性:奇偶性、轮换性因为积分曲线L关于y轴对称，函数 2xcosy是例 设L为椭圆其周长为a，求解 原式=x的奇函数，因此有而所以 第二类曲线积分的求法 1.基本方法： 由积分曲线的表达式确定定积分的积分变量， 将积分曲线代入被积表达式， 定积分定限：起点对应下限，终点对应上限.2.利用格林公式(1)积分曲线为封闭曲线,直接化为二重积分（满足定理条件）(2)积分曲线为非封闭曲线,添加曲线(较简单)使之成为封闭曲线, 原曲线积分化为一个二重积分减去在添加曲线上的曲线积分.记L所围的区域为D，易知 D是边长为 的正方形区域.例1 设L为 的反时针方向，则(A)0； (B)2； (C)4； (D)1解由已知，则由格林公式，得B解 为用格林公式, 它与L所围区域为D , 则原式添加辅助线段原式3.利用曲线积分与路径无关的条件(1)改变原积分路径，使得原积分简化.(2)已知 是某函数的全微分，求出该函数，即4. 有奇点的曲线积分例4 设取逆时针方向，求解 取构造l：顺时针已知于是，由格林公式第一类曲面积分的求法由积分曲面表达式确定曲面向一坐标面投影，将积分曲面代入被积函数，求出曲面面积元素向xoy面投影：1.基本方法：2.计算中注意利用对称性:奇偶性、轮换性关于xoy面对称，被积函数是z的偶函数.解 由对称性（轮换性）问题： 第二类曲面积分的求法上侧取“+”,下侧取“ ”对坐标 x,y 的积分： 积分曲面向xoy坐标面投影， 将积分曲面代入被积函数， 由积分曲面的侧确定二重积分的符号.分三项计算1.前侧取“+”,后侧取“ ”右侧取“+”,左侧取“ ”对坐标 y,z 的积分：对坐标 x,z 的积分：2.利用高斯公式(1)积分曲面为封闭曲面,直接化为三重积分；(2)积分曲面为非封闭曲面,添加曲面(较简单)使之成为封闭曲面, 原曲面积分化为一个三重积分减去在添加曲面上的曲面积分.例6 计算解 曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式关于yoz面对称， 被积函数关于x是奇函数原式故所求积分为3. 坐标转换下侧把三个积分合并, 只向坐标面xoy投影分析解 把三个积分合并,只向坐标面xoy投影下侧4. 注意有奇点的曲面积分例8 求其中上侧.解 设取2为半球面：则原式 下侧取3为平面（下侧）：添加平面：使 成为封闭曲面的内侧，原式由高斯公式上侧所包围区域为两类曲面积分之间的关系是 的法向量.