32 等比数列的前n项和 一、等比数列的前n项和公式 一般地，对于等比数列 a1，a2，a3，an， 它的前n项和是 Sn_ 根据等比数列的通项公式，上式可写成 Sna1a1qa1q2a1qn1. 由错位相减法知：当q1时，等比数列的 前n项和的公式为 Sn_. 因为ana1qn1，所以上面的公式还可以 写成 Sn_. 显然，当q1时，数列an变为 a1，a1， ，a1，易得它的前n项和Sn _. (2)在等比数列的通项公式及前n项和公式 中共有_五个量，知道其中任意 三个量，都可以求出其余两个量； (4)在含字母参数的等比数列求和时，应分 _与_两种情况进行讨 论 (2)对于形如xnyn的数列的和，其中xn 为等差数列，yn为等比数列，也可以这 样求和：错位相减法实际 上是把一个数列 求和问题转 化为等比数列求和的问题 (3)利用这种方法时，要注意到公式及其他 应用问题 中对公比的分类讨论 若已知 q1，求等比数列前n项和的方法一般是利 用Sn的表达式的特点，当q1时，求和就 简单 得多了，这时 数列的每一项都相等 ，直接把n个相等的数相加即可得 若公比q1，则数列为非零常数数列，因 此在进行等比数列的前n项和的计算中对 公比q是否为1进行讨论 是分类讨论 思想 在数列这一章中的一个重要体现，也是高 考的重要知识点 此类题 型主要应用等比数列的前n项和公 式及其性质，得到有关的方程(组)来进行 求解 例1 在等比数列an中，已知a6a4 24，a3a564.求an前8项的和S8. 解析：解法1：设数列an的公比为q，根 据通项公式为ana1qn1，由已知条件得 a6a4a1q3(q21)24，(*) a3a5(a1q3)264. a1q38. 将a1q38代入(*)式，得q22， 没有实数q满足此式，故舍去 将a1q38代入(*)式，得q24，q2. 变式训练1 在等比数列an中， a1an 66，a2an1128，且前n项和Sn126， 求n及公比q. 解析：a1ana2an1128，又a1an66 ， a1、an是方程x266x1280的两根， 解方程得x12，x264， a12，an64或a164，an2，显然 q1. 例2 已知等比数列an中前10项的和S10 10，前20项的和S2030.求S30. 变式训练2 等比数列an中，S27，S6 91，则S4可为 ( ) A28 B32 C35 D49 解析：an为等比数列，S2，S4S2， S6S4也为等比数列，即7，S47,91S4 成等比数列 (S47)27(91S4)，解得S428或21. S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2 (a1a2)(1q2)S2(1q2)S2， S428，故选A. 答案：A 例3 一个等比数列的首项为1，项数是偶 数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170 ，求出数列的公比和项数 解法2：设项数为n. 等比数列的项数为偶数，SnS奇S偶， 则S奇a1a3a5an1，S偶a2a4 a6ana1qa3qa5qan1q q(a1a3a5an1)qS奇， 85q170，q2. 又Sn85170255， n8，故公比q2，项数n8. 在推导等差数列的前n项和公式时引入了 倒序相加法，在推导等比数列的前n项和 公式时，介绍了错位相减法，而对于既不 是等比数列也不是等差数列的数列，应先 分析它的通项公式，抓住特点，将数列求 和问题转 化成已知的等差、等比数列或是 常数数列的求和问题 ，因此同学们必须掌 握一些简单 数列求和的方法： (1)公式法求和：对于等差数列或是等比数 列的求和 (2)错位相减法求和：对于一个等差数列 an和一个等比数列bn的对应项 的积构 成的数列anbn采用错位相减法，解题步 骤为 ：写出Snc1c2cn；等式 两边同乘等比数列的公比：qSnqc1qc2 qcn；两式错位相减转化成等比 数列的和；两边同除以1q，求出Sn， 在此须对 q是否为1进行讨论 (3)倒序相加法：这是推导等差数列前n项 和公式时所用的方法，也就是将一个数列 倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时 ，若有公因式可提，并且剩余项的和易于 求得，则这样 的数列可用倒序相加法求和 (4)分组求和法：有一类数列，既不是等差 数列也不是等比数列，观察通项公式，若 将这类 数列适当拆开，可分为几个等差、 等比或常见的数列，即先分别求和，然后 再合并 (5)裂项法：分析通项公式，通项可分解 为两项之差，然后相加相消，最后只剩下 有限项的和常见的拆项公式有： 变式训练4 已知数列an，a1，a2，a3， ，an，构造一个新数列：a1，(a2 a1)，(a3a2)，(anan1)，此数 列是首项为1，公比为 的等比数列 (1)求数列an的通项； (2)求数列an的前n项和Sn. 分析：通过观察，不难发现，新数列的前 n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项 为1，公比为 的等比数列的前n项和数 列an的通项公式求出后，计算其前n项和 Sn就容易多了 例5 已知数列an的前n项和为Sn，且有 a12,3Sn5anan13Sn1(n2) (1)求数列an的通项公式； (2)若bn(2n1)an，求数列bn的前n项和 Tn. 整理得an2n4(an12n1)，n2,3，. 因而数列an2n是首项为a124，公比 为4的等比数列，即an2n44n14n，n 1,2,3，. 因而an4n2n，n1,2,3，. 在对等比数列的前n项和的实际应 用中， 应学会审明题意，抓住关键，把实际问 题“转化”为等比数列问题 ，利用相关知识 解决问题 例7 据报道，我国森林覆盖率在逐年提 高，现已达到国土面积的14%，某林场去 年年底森林木材储存量为a万m3.若树木以 每年25%的增长率增长，计划从今年起， 每年冬天要砍伐的木材量为x万m3，为了 实现经过 20年使木材储存量翻两番的目 标，问：每年砍伐的木材量x的最大值是 多少？(lg2取0.3) 变式训练7 某制糖厂第1年制糖5万t，如 果平均每年的产量比上一年增加10%，那 么从第一年起，约几年内可使总产量达到 30万t(精确到个位)? 分析：根据题意得出从第一年起，每年的 产量组成一个等比数列an，运用等比数 列前n项和公式求总产量 分析：证明一个数列是等差或等比数列， 最先考虑的应是等差和等比数列的定义， 对于存在性的问题，应先假设其存在然后 来推导，证明 同步检测训练检测训练