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11 不等关系 12 比较大小 一、不等关系 在数学意义上,不等关系可以体现: _之间的不等关系; _之间的不等关系; _之间的不等关系; _之间的不等关系 二、比较大小 1任意两个实数a,b都能比较大小: 如果ab0,那么_; 如果_,那么a0_;ab0_ ;abb,则_; 2若ab,c0,则_; 3若ab,cb,bc, 那么_. 友情提示:(1)要特别注意性质2、3中 _的符号,因为_的符 号相异,结论 恰好相反 (2)所有性质中的a和b可以是_, 也可以是_. 答案: 常量与常量 变量与常量 函数与 函数 一组变量 ab abb ab abc acbc accc c 实数 式子 1.不等式与等式之间主要有哪些异同? 不等式与等式是生活、生产实践中最常见 的关系式,其相异的性质主要在与数相乘 时,不等式两边乘(除以)的数的符号不同 时,结论不同;而等式则不然等式与不 等式的性质对比如下表: 2.不等式的证明或比较实 数大小有哪些方法 及注意事项呢? 证明一个不等式和比较实 数的大小一样,根 据题目的特点可以有不同的证明方法 (1)作差法和作商法是比较实 数大小和证明不 等式的重要方法,但是它们又有自己的适用 范围,对于不同的问题应 当选择 不同的方法 进行解决: 一般的实数大小的比较都可以采用作差法 ,但是我们要考虑作差后与0的比较,通常 要进行因式分解,配方或者其他变形操作, 所以,作差后必须容易变形到能看出与0的大 小关系 (2)在证明不等式时还 可以利用已经证 明 的结论 ,或者利用不等式的性质对 不等式 进行变形,使不等式变成简单 易于比较 大小的形式,再比较大小得出结论 ,需要 注意的是,有些结论 的递推是双向的,而 有些是单向的,例如,不等式性质中的对 称性就是双向的,而传递 性就是单向的, 在不等式两边同乘一个数或式子的时候, 必须先判断要乘的数或式子的符号,决定 相乘后是否改变符号 (3)有些不容易从正面证明的不等式还可以 采用反证法进行证明,具体可以根据课本 对性质4的推论3的证明方法和步骤,它 可以把难以从正面说明的问题转 化为其 反面进行说明. 例1 对于实数a、b、c,判断下列命题 的真假: (1)若ab,则acbc; (2)若ab,则ac2bc2; (3)若aabb2; (4)若abc2,则ab,此命题是真命 题; (3)aab;ab2, 命题是真命题; 变式训练1 如果ab,则下列各式正确 的是( ) Aalgxlgxb(x0) Bax2bx2 Ca2b2 Da2xb2x 解析:对于A:当x0时,lgxR,当lgx0 时,algxblgx(x0)不成立,故应排除A ; 对于B:xR,当x0时,ax2bx2, ax2bx2不成立,故应排除B; 对于C:a2b2(ab)(ab),又由ab 可知ab0,但是ab的符号是不确定的 ,因此a2b2不成立,故应排除C; 对于D:由指数函数的性质可知,2x0, 又ab,a2xb2x成立,故选择D. 答案:D 实数(或式)比较大小的依据是aba b0;abab0;a0,b0时, 1ab) 方法步骤是作差(商)变形判断大 于或小于零(大于1或小于1)关键是变形 ,变形的目的在于便于判断正负常见的 变形有因式分解、配方等 例2 已知x1,比较x36x与x26的大小 解析:(x36x)(x26)x3x26x6 x2(x1)6(x1)(x1)(x26), x1,(x1)(x26)0,x36xx26. 变式训练2 设mR,xR,比较x2x 1与2m22mx的大小 例3 比较aabb与abba(a、b为不相等的正数 )的大小 变式训练3 若m0,比较mm与2m的大小 例4 已知a0,试比较a与 的大小 变式训练4 已知a,b均为正数,nN* ,比较(ab)(anbn)与2(an1bn1)的大 小 解析:(ab)(anbn)2(an1bn1) an1abnanbbn12an12bn1 abnanban1bn1 a(bnan)b(anbn) (ab)(bnan), a、bR,nN*,且n1, 当ab0时,ab0,bna0时,aban. (ab)(bnan)0时,ab0. 所以(ab)(bnan)0. 综上所述,(ab)(anbn)2(an1bn 1)0. 即(ab)(anbn)2(an1bn1) 例5 (一题多解)求证: ab. 分析:本题可以用比较法证明;也可以用 不等式性质得到证明 变式训练5 已知ab,cbd. 证明:证法1:由ab知ab0,由c0, (ac)(bd)(ab)(dc)0, acbd. 证法2:cd. 又ab,a(c)b(d),即acb d. 例6 求下面题目中 的取值范围 (1)m3;(2)m2;(3)3m2.答案: 例7 设f(x)ax2bx且1f( 1)2,2f(1)4,求f(2)的取值范围 分析:本题是关于x的一元二次函数,可以 利用换元法来求解在求解时一定要注意 已知条件中a、b的关系,准确把握a、b的 取值范围,否则容易出错下面我们再用 一种新的方法待定系数法来求解 f(2)3f(1)f(1) 1f(1)2,2f(1)4, 53f(1)f(1)10,故5f(2)10. 例8 甲、乙两人同时从寝室到教室,甲 一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时 间步行,一半时间跑步,如果两人步行速 度、跑步速度均相同,则( ) A甲先到教室 B乙先到教 室 C两人同时到教室 D谁先到教 室不确定 分析:用路程速度时间,求甲、乙两 人所用的时间,再用比较法求解答案:B 变式训练8 甲、乙两水果商先后分别两 次从某地购进水果,甲商每次购20000斤 ,乙商每次购2万元,若两次购进的价格 不同,试判断甲、乙两人谁的购买方式合 算(即平均单价低) 分析:先求出两人两次的平均单价,再用 比较法解 同步检测训练检测训练
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