- 82 -第 6 章 弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度 不大于板中面最小尺寸的t 时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，5/1 中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称 为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇 到很大的困难。1850 年，G.R.基尔霍夫（Kirchhoff Gustav Robert，基尔霍夫 古斯塔夫罗 伯特，德国物理学家，1824-1887 年）除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的 假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面 的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平 行的各面上的正应力与应力,和相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发zxyxy生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较 复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题 的一个重要途径。 本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能 原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。6.1 基本方程与边界条件回顾取坐标平面与中面重合，轴垂直于中面，,和轴构成一个右手直角笛卡儿坐oxyzxyz 标系。变形后的板内各点沿,和轴方向的位移分别用,和表示。由 Kirchhoff 假设，xyzu vw 可以得到， （6-1）xwzzyxu),(ywzzyxv),(),(),(yxwzyxw并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为， （6-2）22xwzx22ywzyyxwzxy2 2其余 3 个应变分量,和根据假设都等于零，即zxzyz， （6-3）0z0xz0yz由薄板的平衡关系，可以确定板的横向 分布载荷与剪力,以及弯矩,),(yxqxQyQxM和扭矩（,统称为内力yMxyMxMyMxyM矩）与,之间的关系式。这里要注意，xQyQ,是单位中面宽度内的内力矩，xMyMxyM它们的因次是千克力，,是单位中面宽xQyQ度内的内力，它们的因次是千克力/米。弯矩、 扭矩和剪力的正方向如图 6-1 所示。- 83 -平衡方程为（6-4）),(yxqyQxQQyMxMQyMxMyxyyxyxxyx在薄板弯曲理论中，剪力,不产生应变，因而也不作功，因此可以从（6-4）式中消去xQyQ,，得到xQyQ（6-5）0),(22222 yxqyMyxMxMyxyx以后凡提到薄板弯曲平衡方程，都是指（6-5）式而言。而内力,不再作为独立的量看xQyQ待。上面两组方程仅仅是力的平衡方程，它们未涉及到板的材料性质。 与内力矩相对应的广义应变是挠度面的曲率，在小挠度弯曲理论中，它们与xyyxkkk,挠度的关系为w， （6-6）22xwkx22ywkyyxwkxy2内力矩与曲率的关系可以通过应变能密度表示出来，若将表示为的函数，UU xyyxkkk,则有， （6-7）xxkUMyykUMxyxykUM21这种关系式对于线性或非线性材料都成立。对于线性的弹性体，是的正定的二U xyyxkkk,次齐次函数。在各向同性的情况下，的算式为U（6-8）)(1 (2)(2122 xyyxyxkkkkkDU将（6-8）式代入（6-7）式，然后再将（6-6）式代入，得到内力矩与挠度的关系式为（6-9）yxwDMxw ywDMyw xwDMxyyx222222222)1 ()()(以上各式中称为板的弯曲刚度，其中 为板的厚度，为材料的泊松系数。)1 (1223EtDt如果我们定义为广义应变，为广义应力，即 MxyyxxyyxMMMMyxwywxwkkk 2222222上（6-10） 则有图 6-1 弯矩、扭矩和剪力的正方向- 84 -（6-11） DM式中的为弯曲刚度矩阵。 （6-8）式可以写为D（6-12）21DUT余应变能密度看作是内力矩,的函数，其值定义为*UxMyMxyM（6-13）UkMkMkMUxyxyyyxx2*并且有， （6-14）xxMUk*yyMUk*xyxyMUk* 2同样，对于线性的弹性体，是,的正定的二次齐次函数。*UxMyMxyM如果以广义应力表示余应变能密度，则有M（6-15）21*MCMUT式中。1 DC （6-12）式与（6-15）式都是以后经常要用到的表达式。注意，对于线弹性薄板，应变能密度与余应变能密度在数值上是相等的，即。*UU 将（6-9）式代入（6-5）式，得到以挠度表示的各向同性薄板的平衡方程为（6-16）),()2(4422444 yxqyw yxw xwD或（6-16/）),(22yxqwD在处理具体问题时，经常遇到坐标旋转而引起的变换。如果坐标由转变为，如oxyo 图 6-2 所示，则两个坐标系中坐标的关系为（6- cossin,sincoscossin,sincos yxyxyx17） 对于挠度，有，从而w),(),( wyxw（6-18） cossinsincosyw xwwyw xww及二阶偏导为sincos)sin(cossincoscoscossin2sinsincossin2cos22 2222222 222 2 22222 222 2 2222yw yxw xwwyw yxw xwwyw yxw xww（6-19） 弯矩、扭矩的变换公式为（6-20） sincos)sin(cossincoscoscossin2sinsincossin2cos222222yxyxyxyxyxyxMMMMMMMMMMMM图 6-2 坐标转换- 85 -剪力的变换公式为（6-21） cossinsincosyxyx QQQQQQ在板的弯曲问题中，有三种典型的边界条件，简述如下。 设为板在平面上的定义域，板的边界为，令为沿边界外向法线的方向，为xyCns 边界的切线， （,）的转向与（,）的转向是一致的，如图 6-3 所示。n sxy 第一种边界为固支边界，在这种边界上，其挠度1C 与法向斜率均为给定的，即有（在上） （6-22）nnwww,1C第二种边界为简支边界，在这种边界上，其挠2C 度与法向弯矩为给定的，即有（在上） （6-23）nnMMww,2C第三种边界为自由边界，在自由边界上，作用3C在边界上的力为给定的。从内力和力矩看，在边界上共 有三个，即，但其中并不完全独立，因为从作功角度来看，和并不完nnsnQMM,nsMnQ全独立。事实上，若边界上的挠度有一变分，则在上所作之功是wnnsQM,ww（6-24）swQswMw Cnnsd 3利用分部积分，上式又可以写成（6-25） 33|d)(CnsCnnswMswQsMw由（6-25）式可见，切向扭矩可以分解为沿着周边边界的分布载荷及作用于nsM3CsMns 两端的集中力，而两端是支座（不是固支边便是简支边） 。从实际板的受力来3C|nsM3C分析，可以看到集中力为作用在角点上，一般是影响到支座上的力，而对板的变形无|nsM影响。因此，分布载荷与剪力构成沿自由边界上的分布力，这部分边界力的虚功为sMns nQ3CswQsMCnnsd)(3与相对应的广义力为，自由边的边界条件应取为wnnsQsM（在上） (6-26)(,sqQsMMMnns nn3C为已知的作用在上的线分布载荷。)(sq3C6.2 虚功原理和功的互等定理力学上，可能位移是指满足位移连续条件的位移。在薄板弯曲问题中只有一个广义位移图 6-3 板的边界- 86 -，因此，可能作为可能位移的条件是：是,的连续可导函数，),(yxw),(yxwyw xww ,xy并且在边界上满足连续条件：（6-27） 上）（在上）（在21,CwwCnwwwn同样，由可能位移按式（6-10）也可得到相应的可能曲率。w 可能内力是指与某种外力保持平衡关系的内力。在薄板弯曲问题中，内力有, xMyM，这三个内力组成一组可能内力的条件是：在板的内部满足平衡方程（6-5）式，在板xyM的边界上满足条件（6-28） 上）（在上）（在32)(,CsqQsMMMCMMnns nnnn根据能量守恒定理，外力在可能位移上所作的功等于可能内力在可能应变上所作的功， 通常把这一关系叫做虚功原理。在薄板弯曲问题中，若把支座反力也看作外力，则虚功原理 的数学形式是 yxywMyxwMxwMyxyxdd)2(22222（6-29） CnCnnssnwMswQsMyxqwdd)(dd上式中，为可能挠度，是可能内力，它们之间可以完全独立而彼此无任何wxyyxMMM,联系。 下面给出（6-29）式的数学证明。为了书写简单，引入下面符号： ),cos(),cos(ynmxnl现在将取为的方向，取为的方向，则可以利用（6-18） 、 （6-20） 、 （6-21）式等将ns等用 等表示出来，下面证明中将用到sw nwQMMnnsn ,yw xwQQMMMyxxyyx ,这些公式。 从（6-29）式中，等号右边两个线积分可作如下化简（并引用（6-22） 、 （6-23）式的边 界条件） ，并得到CCnnnssnwMswQsMdd)(CCnsnnsswMnwMswQd)(dsywlxwmMmlMMlmywmxwlMmlmMMlswmQlQxyxyCyxyxCyxd)()()()( )2(d)(2222（6-30）sywmMywlxwmMxwlMswmQlQyCxyxCyxd)(d)(- 87 -再将（6-4）式的关系代入（6-29）式右边第一个积分项里的中，展开后为q（6-31） yxywMyxwMxwMsywmMywlxwmMxwlMswmQlQyxyw yMxMxw yMxMswmQlQ