浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列1第九讲第九讲 单位根、协整与误差修正模型单位根、协整与误差修正模型一、单位根过程的定义一、单位根过程的定义如果的数据生成过程是： ty， 是平稳过程1tttyy t则的数据生成过程被称为单位根过程。我们还可 ty以在上述模型基础上增加截距项（所谓的漂移项）或者时间趋势项，如：00111ttttttyy yt y 上述过程都属于单位根过程。笔记：按照附加预期的菲利普斯曲线理论：通胀率=预期的通胀率-a（失业率-自然失业率）+供给冲击。失业率与自然失业率的差异（即周期性失业率）与供给冲击一般是平稳的。假定人们采取静态预期，即预期通胀率等于过去一年的实际通胀率，则通胀率=过去一年的通胀率+平稳性变量，故基于一些假定我们可以从理论上表明通胀率是一个单位根过程。单位根过程的一个特例是随机游走：，其中是白噪声过程1tttyy t浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列2同样，我们可以在上述模型基础上再增加截距项或者时间趋势项。单位根过程是非平稳过程。以随机游走模型为例，注意到 ，故有： 11210.tittttttiyyyy 、。显然，随着时间的延伸方差0( )tE yy2( )ttVar y趋于无穷大，因此随机游走属于非平稳过程。图一是对一个随机游走过程的模拟。图一：1,(0,1)tNIDtttyy :笔记：1、有效市场理论认为股票价格应当是一个随机游走过程。在随机游走模型中，是白噪声过程， t0( ,)0,ttjjCov 因此有效市场理论的含义也即是股票价格变动（）1tttpp是不可预测的。按照有效市场理论，股票价格能够及时吸纳消息，因此，如果下一时刻价格与现在价格确实存在差异，那么导致这个价格差异的消息就现在时刻来说是无法预测的，否则，现在价格将马上变动从而使价格差异消失。2、在财富（预期未来现金流的贴现）给定的情况下，最优浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列3的消费计划是现在消费与下一期消费相等（饿一等饱一等显然不是最优） 。如果下一期消费与现在的消费确实存在差异，那么导致这个差异的原因（也许是飞来横财）在现在肯定是不知道的，否则现在的消费将作出调整，并做到现在消费与下一期消费相等。按照上述逻辑，消费将是一个随机游走过程。以上是Hall(1978)的消费随机游走理论。二、带漂移的单位根过程与趋势平稳过程：一个比较二、带漂移的单位根过程与趋势平稳过程：一个比较带漂移的单位根过程是指：，其1tttyy中是平稳过程。反复迭代有：。 t 10titiyyt 在这个表达中，被称为确定性趋势项，而被t 1tii 称为随机趋势项。图二是对一个带漂移的随机游走过程的模拟。图二：1,(0,1)0.1tNIDtttyy :所谓趋势平稳过程是指：， 是平稳过程01,11tttyty t由上式有：，令，011)(ttE ytE y01)(tE yt浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列4则有：01010100111()()()1tttt因此有：1 101 011 当时，随时间的变化而变化，因此1001)(tE yt过程是不平稳的。然而， ty01011 11 1)(ttttttttttytyyE yyE yE ytE y 令，由于，因此过程是平稳的。)(tttyE yz1 tz注意到是过程的长期趋势，而过程01)(tE yt ty是通过剔除过程的长期趋势而获得的，因此 tz ty被称为趋势平稳过程。 ty图三是对一个趋势平稳过程的模拟。图三：1,(0,1)10.010.8tNIDtttyty :上述两个过程都展现出明显的确定性趋势，但存在重要的区别：浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列51、 单位根过程是差分平稳的，而趋势平稳过程在剔除趋势之后是平稳的；2、 单位根过程不具有均值回复性，而趋势平稳过程具有均值回复性。3、 在回归分析中，如果有变量是趋势平稳过程，则需要在解释变量集中引入时间趋势项。如果注意到这一点，趋势平稳过程基本上不会对传统的计量分析构成威胁。但变量含有单位根往往使传统的计量分析无效。笔记：1、把两个服从随机游走的独立变量基于模拟样本进行回归，Engle ttttth ytgxxy tthg、单整过程。注意到：21210000()()()(ttttttyxtgthtghyxyx协整的严格定义要求是无趋势的 I(0)过程。协整参数()ttyx将使得是无趋势的 I(0)过程，但与此同时，并()ttgh21()不一定是零。因此，我们不得不对协整的定义加以扩展：是可以包含趋势的 I(0)过程，即要么平稳要么()ttyx()ttyx趋势平稳。注意到：浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列172100)()()(ttttytxghyx令，即有回归模型：2100;tttyxgh tttytx前面的例子是两变量情形，如果涉及到多变量，我们仍然可以利用 EG 两步法，但要参照不同的临界值表，可参见 Stock & Watson(Second Edition,p659-651)。然而在多变量情形下一个问题是，可能存在多个协整关系，但 EG 两步法并没有考虑到这一点，因此，利用 EG 两步法检验多变量协整检验是有缺陷的，而此时标准的检验方法是 Johansen(1995)法，可参见较高级的教科书。笔记：如果有 m 个 I(1)变量，那么最多可能有 m-1 个独立的协整关系。为了理解这一点，我们假设 m 个 I(1)变量有 m 个独立的协整关系，则这 m 个 I(1)变量必定分别可以表示成 m 个平稳误差项的线性函数。显然 m 个平稳误差项的线性函数是平稳的，而这将使 m 个变量都是 I(1)变量的前提条件不成立。六、协整参数估计与推断六、协整参数估计与推断对于两变量情形，当变量间具有协整关系时，建立模型：并利用 OLS 法进行估计获得协tttyx浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列18整参数估计。随着样本容量的增加会以较快的速度收敛于，此即所谓的估计量的超一致性。笔记(参见 Murray(2006,p.275-277)：，因此具有均值回复性。与之相比，由于，(0)tI:t(1)txI:因此并没有均值回复性。考虑两变量的样本相关系数，则必tx有：，即两者渐进无关。应该注意到，( ,)lim0( )()ttnttCov xpVar xVar 是无限的，而是有限的。因此，由于lim( )t npVar x lim()t npVar 成立，则必定成立。( ,)lim0( )()ttnttCov xpVar xVar ( ,)lim0( )( )ttnttCov xpVar xVar x在 OLS 法下，有：( ,)( ,)( ,)( )( )( )( )( )( )tttttttttttttCov xCov xxCov xVar xVar xVar xVar xVar xVar xy因此，即估计量具有一致性。( ,)limlim( )( )ttnnttCov xppVar xVar x怎样理解估计量的超一致性呢？现在考虑回归模型：tttyx 在这里，都是平稳变量，并且与同期无关。于是tttyx、txt有：，即估计量具有一致( ,)limlim( )( )ttnnttCov xppVar xVar x性。注意到与都等于零，( ,)lim( )( )ttnttCov xpVar xVar x( ,)lim( )( )ttnttCov xpVar xVar x 然而在前式中是无限的，而在后式中是lim( )t npVar x lim( )t npVar x 有限的，因此，收敛于零的速度要快于( ,) ( )( )ttttCov x Var xVar x浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列19收敛于零的速度。( ,) ( )( )ttttCov x Var xVar x 总结：当误差项是 I(0)过程而解释变量是 I（1）过程时，与解释变量相联系的系数的 OLS 估计量具有超一致性。问题是，获得仅仅是一方面，我们还需要对进行假设检验。然而，棘手之处在于，的分布是非标准的。因此，通常的 t 检验在这里是不适用的。我们能不能既获得协整向量的估计同时又能够利用通常的 t 检验或者 F 检验？回答是肯定的。按照动态 OLS（DOLS）法，我们可以对模型：ptttjtj jpxyxu进行 OLS 估计。我们不但获得，而且此时对任意系数参数的假设检验都可以利用 t 检验或者 F 检验。关于 p 值的选择，标准的实践是 p=2。关于 DOLS 参见 Stock & Watson(Second Edition,p660)。关于多变量协整系数的估计与推断，标准的方法是Johansen(1995)法，可参见较高级的教科书。七、误差修正模型七、误差修正模型（一）一个故事（一）一个故事一个喝醉了酒的女孩从酒吧出来随意行走。女孩的男朋友一直在她身边照顾她。因此，如果单独观察浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列20男孩子的行走路线，我们将发现他也是在随意行走。然而，男孩与女孩各自的行走路线显然具有稳定的关系。男孩喜欢抽烟，但不幸的是他没有打火机。因此，在行走过程中，男孩不时离开女孩去向其他人借打火机。不过在点好香烟后，男孩会跟上女孩。（二）（二）Granger 表示定理：当变量间存在协整关系，表示定理：当变量间存在协整关系，必存在误差修正机制。必存在误差修正机制。回到刚才的故事。女孩的位移与男孩的位移都是随机游走过程，但两者存在协整关系。当男孩的位移偏离了女孩的位移，则均衡误差出现了，接下来男孩的位移将作出调整，试图继续维持均衡关系。应该注意到，当均衡误差出现时，女孩由于喝醉了，她不会作出调整，作出调整的是男孩；然而，如果女孩半醉半醒，她或许也将作出调整。但无论如何，总是存在一种调整机制。（三）误差修正模型（三）误差修正模型（ECM）以两变量为例。假设都是一阶单整的，但两,ttyx者具有协整关系：。根据 Granger 表示定理表示定理，yx此时应该存在误差修正模型：11112112() ()ttttttttyyx xyx 其中为白噪声。12tt、浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列21思考题：（1）、被称为调整速度。与会同时为1212零吗？（2）当不为零时，其符号是正还是负？当1不为零时，其符号是正还是负？（提示：的符22号依赖于 的符号）笔记：1、当时，则称 yt是弱外生变量。120,02、尽管误差修正模型表现为联立方程形式，但我们可以对每一个方程分别进行 OLS 估计。由于平稳，故11()ttyx针对可以利用通常的 t 检验。i3、如果并不是白噪声，那么可以引入众多12tt、项，以使新的误差项是白噪声。t it ixy、4、如果有变量表现出明显的确定性趋势，则在模型中增加截距项。5、当协整参数未知时，对