第 二 章 随机变量及其分布一、随机变量二、离散型随机变量及其分布三、随机变量的分布函数四、连续型随机变量及其分布五、随机变量的函数的分布第一 节为了全面研究随机试验的结果，数学处理上的方便，机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二章 要将随机试验的结果数量化。随机变量对于随机试验而言，它的结果未必是数量化的。例1、掷一枚硬币，X = X(e) =1, e = H0, e = T例3.从一批灯泡中任取一灯泡测量其寿命,用X表示 其寿命，则例2 、从100件（其中5件是次品）产品中任取2件，观察 取得次品的个数，我们用X表示，则X=0机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示取得0件次品，其概率为表示“其寿命大于1000小时”。X=1 表示取得1件次品，其概率为X=2 表示取得2件次品，其概率为表示“其寿命小于等于500小时”。定义. 设S=e是试验的样本空间，如 果量X是定义在S上的一个单值实值 函数即对于每一个eS，有一实数 X=X(e)与之对应，则称X为随机变量 。 随机变量常用X、Y、Z 或 、 等表示。 随机变量的特点: 1 、X的全部可能取值是互斥且完备的2 、X的部分可能取值描述随机事件机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机变量的分类：随机变量机动 目录 上页 下页 返回 结束 离散型随机变量及其分布 第二章 一、离散型随机变量的定义二、常用的离散型随机变量第二、 三节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、离散型随机变量的 定义性 质 ：定义 若随机变量X取值x1, x2, , xn, 且取这 些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称X为离 散型随机变量，而称PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为X的分布律或概率分布。可表为X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，机动 目录 上页 下页 返回 结束 分布律也可用如下表格的形式表示：例1、袋中有2个白球和3个黑球,每次从中任取1个,直到取到白球为止，X取球次数，求无放回情况下X 的分布律。解:1234例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概 率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5 则A1,A2,A5,相互独立且 P(Ai)=p,i=1,2,5. SX=0,1,2,3,4,5,(1-p)5 例3、设随机变量X的分布律为试确定a 的值。解:由归一性所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 . (01)分布 定义1.如果随机变量的分布律为则称服从参数为的(01)分布。二、常用的离散型随机变量及其分 布（0 1）分布的分布律也可写成注：如果随机试验只有两个结果，总能定义一个服从(0 1)分布的随机变量。机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.贝努利概型 n重独立试验 在相同的条件下对试验E重复做n次，若n次试验中各 结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的。 贝努利概型设随机试验E只有两种可能结果，且 ,将试验E独立地重复进行n次，则称这n次试验为n重贝努利试验，或称n重贝努利概型。. .二项二项 分布分布机动 目录 上页 下页 返回 结束 n重贝努利试验中, X 事件A发生的次数，X是一个随机变量，我们来求它的分布律。X所有可能的取值为0，1，2，.，n。由于各次试验 是相互独立的，因此事件A在指定的k次试验中发生，其他n-k次中不发生（例如前k次试验中发生，后n-k 次试验中不发生）的概率为k个n-k个 由于这种指定的方式共有种，它们是两两互不相容的，故在n次试验中A发生k次的概率为定义2.如果随机变量的分布律为则称服从参数为其中记为2、二项分布的二项分布,即注：机动 目录 上页 下页 返回 结束 XB（n,p)。某班有30名同学参加外语考试，每人及格的概率解：例 1 、机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2 、设100件产品中有95件合格品，5件次品，现从中 随机抽取10件，每次取一件，X10件产品中的次品数，(1)有放回的抽取，求 X的分布律；(2)无放回的抽取，求 X的分布律；(3)有放回的情况，求10件产品中至少有2件次品的概率。解：(1) A 取得次品， P(A)=0.05,k=0,1,2,3,4,5机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3)注：明确告知有放回抽样时，是n重贝努利试验；若没有 告知，当总数很大，且抽查元件的数量相对于总数很小，可以当作放回抽样。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 3 .某人购买彩票, 设每次买一张, 中奖的概率为0.01，共买400次，求他至少中奖两次的概率。解: 把每次购买彩票看成一次随机试验设中奖的次数为 ，则即由于直接计算比较麻烦, 给出近似计算公式.适用条件:机动 目录 上页 下页 返回 结束 泊松 定理设 是一常数 ,是正整数 , 若则对任一固定的非负整数 ,有(二项分布的泊松近似).泊松 分布若随机变量 X 的分布律称服从参数为的泊松分布,记为其中 是常数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 n 很大，p 很小时，泊松定理表明：泊松分布是二项分布的极限分布，参数 = n p 的泊松分布二项分布就可近似看成是具有泊松分布是的随机变量在实际中是很多，例如：在一个时间间隔内某电话交换台收到的电话的呼唤次数，一本书一页中的印刷错误数、某地区在一天内邮递遗失 的信件数、某一医院一天内的急诊病人数、某一地区一个时间间隔内发生的交通事故数等等都服从泊松分布。例 3 .某人购买彩票, 设每次买一张, 中奖的概率为0.01， 共买400次，求他至少中奖两次的概率。解: 把每次购买彩票看成一次随机试验设中奖的次数为 ，则即利用泊松分布故近似地有查附表三，得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 4 .已知一分钟内寻呼台接到寻呼的次数X服从参数 为解: （1）（2）的泊松分布，分别求 （1）每分钟内正好接到3次寻呼的概率；（2）每分钟内接到的寻呼次数不少于3次的概率。例 5工人（工人配备多了浪费，配备少了又要影响生产），解: 现有同类型设备300台，各台工作是相互独立的，发生设需要配备N名工人。为了保证设备正常的工作，需要配备适量的维修故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理（我们也只考虑这种情况），问至少 需要配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01？记同一时刻发生故障的设备 台数为X，那么，所要解决的问题是确定最小的N，使得机动 目录 上页 下页 返回 结束 由泊松定理，这里查附表三p324，可知满足上式的最小的N是8.因此， 为了达到上述要求，至少要配备8名工人。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 6 .发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一人解: 处理。考虑两种配备工人的方法，其一是由4名工人维护，按第一种方法。设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小。以Ai表示事件“第i人维护的20台刻发生故障的设备台数” ，以X记“第1人维护的20台中同一时中发生故障不能及时维修”，则知80台中发生故障而不能及时维修的概率为机动 目录 上页 下页 返回 结束 而这里即有按第二种方法。 设备台数” ，以Y记“80台中同一时刻发生故障的则知80台中发生故障而不能及时维修的概率为这里机动 目录 上页 下页 返回 结束 我们发现后一种方法工作任务重了，但是工作质量 不仅没有降低，反而提高了。机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机变量离散型随机变量分布律几类常用的 离散型随机变量 0-1分布二项分布泊松分布想一想：离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非离散型的该如何描述？如：熊猫彩电的寿命X是一个随机变量，对消费者来说，你是否在意X5年还是X5年零1分钟机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机变量的分布函数 第二章 一、分布函数的概念二、分布函数的性质第四 节三、离散型分布函数的求法机动 目录 上页 下页 返回 结束 为X 的分布函数。设 X 是一个随机变量，定义1的函数值的含义：上的概率.分布函数一、分布函数的 概念是任意实数，则称函数表示 X 落在可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。(1)(2)同理，还可以写出机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、分布函数的 性质 单调不减性： 右连续性： ，且，则上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数的充要条件。解:例 1. 设随机变量X 的分布函数为（1）试确定系数A、B；（2）求（1）根据机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:例 2. 已知随机变量X 的分布律为求分布函数当 时, 当 时, 当 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以，机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:例 3. 已知随机变量X 的分布律为求分布函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 4 .已知离散型随机变量X的分布函数为（1）求X的分布列；（2）求解：（1）X的分布列： X345 p1/103/103/5（2）机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知随机变量X的分布函数为求a,b,并求:用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？ab机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续型随机变量及其分布 第二章 一、连续型随机变量的定义二、常用的连续型随机变量第五、 六节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、连续型随机变量的 定义定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负，使对任意实数则称 X为连续型随机变量，称为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。常记为 X f(x) , (-x+)函数1. 概率密 度密度函数的几何意义为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.概率密度的性质 非负性 设随机变量X的概率密度为求常数a.(3) f (x)在点x 处连续，则f (x)的意义： 随机变量 X在点x 处的密集程度。设随机变量X的分布函数为 求f(x)机动 目录 上页 下页 返回 结束 （4） 对任意实数b，若X f(x)，(-x)，则PX=b0。于是例 1 、设连续型随机变量 X的概率密度为1)求 A的值，2 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：3)求X的分布函数F(x).时，F(x)=0时，时， F(x)=1所以，机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2、，求A , B 及 f (x)。解：由于F(x)右连续，所以机动 目录 上页