数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法第二章 分离变量法2.1、分离变量法的基本思想和解题步骤有界弦的自由振动、圆柱体稳态温度分布2.2、一般格式、固有值问题2.3、非齐次问、非齐次方程的解法、非齐次边界条件的处理2.4、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后 由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件 确定叠加系数。适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法令代入方程：令代入边界条件一 求两端固定的弦自由振动的规律2.1 、分离变量法的基本思想和解题步骤数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条 件下的求解问题特征（固有）值：使方程有非零解的常数值 特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解 分情况讨论： 1）2）3）数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法二阶常系数微分方程：特征方程：根的三种情况：得常系数微分 方程的通解：附录:数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。 数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法2 解的性质 x=x0时：其中：这表示在任意一点处都作简谐振动。t=t0时：这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波，其振幅随不同的时间而不同。数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法振幅: 频率: 初位相: 波节: 波腹:驻波法 数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法于是我们可以说u(x,t)是由一系列频率不同(成倍增长)、位相不同、振幅不同的(固有振动)驻波叠加而成的。所以分离变量法又称驻波法各驻波振幅的大小和位相的差异，由初始条件决定，而频率(na)/l与初始条件无关，所以也称为弦的固有频率。中最小的一个中最小的一个 称为称为基频，相应的相应的称为称为基波 称为谐频， 相应的称为谐波。基波的作用往往最显著 数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法第一步: 分离变量。令 适合方程和边界条件，从而 定出所适合的固有值问题，以及 适合的常微分方程 . 第二步: 解固有值问题，的分离变量形状的解。求出全部特征值和特征函数.并求出相应的 的表达式. 第三步: 叠加定系数。将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定常数. 综上所述，分离变量法的解题步骤可以分成三步： 数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法例(1) : 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法解：例(2) 求下列定解问题数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法初始条件数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法 例(3) 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两 端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由纵 振动,即定解问题 解: 设并代入方程得 用 遍除各项即得 数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法关于 T 的方程 关于 X 的方程 分离为(iii)(i) 0 情况的固有值、固有函数 合在一起：固有值只有 ( C1为任意常数）傅里叶余弦级数的基本函数族数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法 当 0 时，将本征值代入 T 的方程：其解其中A0 、B0 、An 、Bn 均为独立的任意常数。代回傅里叶余弦级数的基本函数族数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法由初始条件所有本征振动的叠加 一般解 系数A0 、B0 、An 、Bn由初始条件确定得数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数,得 数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法 定解问题 答 案数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法*例(4) 求下列定解问题令带入方程：解：数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法 二 有限长杆上的热传导令带入方程：解：数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法 例(5) 研究细杆导热问题, 初始时刻杆的一端温度为零度, 另一 端温度为 u0，杆上温度梯度均匀, 零度的一端保持温度不变, 另 一端跟外界绝热,试求细杆上温度的变化。 解杆上温度满足下列泛定方程和定解条件 泛定方程和定解条件都是齐次的，可以应用分离变量法。设代入方程和边界条件得 关于 T 的方程 本征值问题数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法仅讨论 的情况：(i) 0时，随着t 的增大级数解收敛得很快, t 越大, 级数收敛 越快。 t时，u(x,t) 0，即细杆内的温度从开始时的分布趋向 于均匀的零摄氏度，热量从左端一处，体系从热力学非平 衡态趋向于热力学平衡态。答案数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法例(6) 一长度为l的均匀细杆，其侧面与左右两端都保持绝热，杆 内初始时刻的温度分布是不均匀的，求杆内温度随时间的变化。解：数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法分离变量流程图数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法常用本征方程 齐次边界条件数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法 拉普拉斯方程 矩形区域问题 圆形区域问题三 稳定场方程(拉普拉斯方程)的定解问题数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法1 直角坐标系下的拉普拉斯问题解：数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法 拉普拉斯方程 矩形区域 定解问题 未知函数分离 泛定方程分离 X边界条件分离 分离解 叠加 Y边界条件要求数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法2 圆域内的拉普拉斯问题数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法例9 圆柱体稳态温度分布解：(1)设数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法欧拉方程(2)解固有值问题1）2）3）数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法欧拉方程令数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法级数解 ：数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法常用本征方程 周期边界条件数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法 拉普拉斯方程 圆形区域 定解问题 未知函数分离 泛定方程分离 自然边界条件 分离结果 固有值问题求解 固有值 固有函数数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法拉普拉斯方程 圆形区域 径向方程求解 分离解 叠加 边界条件要求数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法例10 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法欧拉方程 令数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法其它为零数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法例12 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法欧拉方程 数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法其他为零数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法 2.2、一般格式、固有值问题2.2.1 一般格式和问题数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法第一步，分离变量。第二步，解固有值问题，得分离变量形状特解。第三步，叠加定系数。1) 固有值是否存在； 2) 如果存在的话，固有 函数系是否正交。数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法2.2.2 固有值问题的施图姆刘维尔(Sturm-Liouville)定理一般的二阶齐次线性常微分方程数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法下面就施图姆刘维尔(Sturm-Liouville)方程讨论固有值问题以上称为正则的施图姆刘维尔(Sturm-Liouville)的固有值问题 。数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法有如下结论：1) 可数性2) 非负性数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法3) 正交性4) 完备性数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法例1 解固有值问题解：数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法例2 解固有值问题解：数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法例3 解固有值问题解：数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法另解：设想能不能通过变量代换将方程化成最简单的S-L 型方程，即消除一阶导项。令：代入方程：0数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法例2.2.4 求满足双调和方程定解问题的所有分离变量形状的解解：数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法代入Y的方程，其特征方程为：数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法特征方程为特征方程的根通解中的对应项附录： 阶常系数齐次线性方程解法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法有两个二重根故解得相应的问题的全部分离变量形状解为数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法例2.2.5 求长方体内稳恒温度分布解：这是我们遇到的第一个高维问题，仍试着用分 离变量法求解。数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法以及常微分方程解两个固有值问题数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法数学物理方程与特殊函数第2章分离变量法2.3、非齐次问题2.3.1 齐次边界条件下非齐次发展方程的混合问题