9.3 格林(Green)公式一. 格林公式平面区域上的二重积分与区域边界曲线上的曲线积分的关系。设D为一平面域，如果D内任意闭曲线所包围的全体 点都属于D，则称D为单连通域. 否则称D为复连通域DD从直观上看，单连通域是不含有“洞”的区域9.3 格林(Green)公式边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在 他的左边.定理1（格林定理）设函数P(x,y),Q(x,y)在有界连通闭域D内及其边界 曲线L上具有一阶连续偏导数，则格林公式L取正向注意: 格林公式的3个条件证明(1)yxoDabcdCEAByxod DcCE同理可证B A两式相加得证明(2)D加辅助线将其分割为有限个区域证明(3)DABCE由(2)知FG例1 计算 ,其中L是矩形闭曲线 (如图).-132解 由格林公式二、简单应用 1. 简化曲线积分xyoLAB2. 简化二重积分xyo3. 计算平面面积例4 计算椭圆 x= acost,y= bsint 所围的面积.解例5 计算其中L是A到O的上半圆(如图).OAaL解 L为非封闭曲线,直接计算较繁.作辅助线OA,在闭曲线L+OA上用格林公式而OA: y=0 , dy=0所以所以思考题若区域 如图为复连 通域，试描述格林公式中 曲线积分中L的方向。思考题解答由两部分组成外边界：内边界：第二节例2,沿三条不同曲线积分都相等,均等于1.例2. 计算其中L为问:此积分是否沿任何曲线从O到B积分值都等于1?若是则称积分与路径无关,否则积分与路径有关.(1) 从O(0,0)到B(1,1)的一段弧； (2) 直线y=x从O(0,0)到B(1,1)直线段；(3) 连接O(0,0),A(1,0),B(1,1)的有向折线三.平面上曲线积分与路径无关的条件设P(x,y),Q(x,y)是定义在平面域D上的有界函数，恒有如果对于D内的任意两点A,B以及D内 从点A到点B的任意两条曲线 ,ABD在D内与路径无关终点B的坐标 起点A的坐标定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起点及终点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明 (1) (2) 设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线, 则(根据条件(1)证明 (2) (3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B( x, y ),与路径无关, 有函数 证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得则P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有证明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式 , 得所围区域为证毕四个条件循环推导了一遍，从而证明了它们相互等价注:3) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;有加就得减1)常用(1)来判断曲线积分与路径无关;2)当曲线积分与路径无关时，常选择最简路径 平行于坐标轴的直线段组成的折线作为积分路径;4)如果D是复连通域，即使 ，曲 线积分也不一定与路径无关。成立5) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:所以积分与路径无关,取折线OAB作为积分路径.解 因为L是通过O(0,0),A(1,0)和B(1,2)的圆周例6 计算 OAB例7. 计算其中L为一无重合点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解: 令设 L 所围区域为D,由格林公式知在D 内作圆周取逆时针方向, 对区域应用格记 L 和 C 所围的区域为林公式 , 得二元函数的全微分求积1. 原函数: 如果存在一个函数u(x,y)，使得du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy原函数全微分式例如 全微分式原函数及动点或则原函数为取定点3.全微分求积当Pdx+Qdy为全微分式时， 求其原函数u(x,y)的过程.与路径无关，可选平行于坐 标轴的折线作为积分路径.例8 验证全微分式并求其原函数.取起点为(0,0),由公式全微分式在右半平面(x0)取起点为(1,0),全微分式关于第二类曲线积分的计算若曲线封闭，首先考虑使用Green公式若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，然后再使 用Green公式此时应注意两点：辅助线上的积分应容易计算， 辅助线的方向与曲线的方向相容，化成第一类曲线积分计算按第二类曲线积分的计算公式直接计算各种积分之间的联系曲线积分定积分计算二重积分Green公式计算与路径无关的四个等价命题条 件等价命题思考与练习1. 设且都取正向, 问下列计算是否正确 ?提示:2. 设提示:解令得由使得在不经过的值的区域上与路径无关并求当L为从A （1，1）到B（0，2）时的值 。3. 确定参数 A(1,1)B(0,2)ACB如选路径C(1,2)则积分结果不易求出 DB但如选路径A D(0,1)则其中L为不包围也不通过原点的任意闭曲线以原点为中心的正向单位圆周包围原点的任意正向闭曲线解 则由Green公式4. 计算L则以原点为心，作一半径充分小的正向圆周记L和 所为成的区域为D1 ，由Green公式由于 L 所围区域包含原点，即5. 设质点在力场作用下沿曲线 L :由移动到求力场所作的功W解:令则有可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.思考: 积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !思考题xyA(2,3)B(4,1)mxymA(2,3)B(4,1)