那末，向量组 就称为向量 的一个基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间一、向量空间的基与维数定义10 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 4.4 齐次线性方程组解的结构（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空 间，因此它没有基说明（3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩.解向量的概念设有齐次线性方程组若记（1）二、齐次线性方程组的解空间则上述方程组（1）可写成向量方程若为方程 的解，则称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解齐次线性方程组解的性质（1）若 为 的解，则 也是 的解.证明（2）若 为 的解， 为实数，则也是 的解证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间证毕.基础解系的定义三、基础解系及其求法线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 个列向量线性无关 于是 可化为现对 取下列 组数：依次得从而求得原方程组的 个解：下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基由于 个 维向量线性无关，所以 个 维向量 亦线性无关.由于 是 的解 故 也是 的 解.所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.说明解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的基础解系若 是 的基础解系，则 其通解为 定理11例1 求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有例2 解线性方程组解对系数矩阵施 行初等行变换即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为