能够根据点到直线的距离公式(或一元二次方程的判别式)判定直线与圆的位置关系/解决求圆的切线和弦长等问题第34课时 直线与圆的位置关系1研究直线与圆的位置关系最常用的方法判别式法；圆心到直线的距离与半径的大小关系直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种，若d ，则dr相离0.2过圆上一点的切线方程已知P(x0，y0)是圆x2y2r2上一点，过P(x0，y0)点圆的切线方程是.思考：圆与圆的位置关系有几种，怎样判定？答案：圆与圆的位置关系有五种，分别是外离、外切、相交、内切、内含，可用两点间的距离公式判断两圆心距离和两圆半径之间的关系x0xy0yr21已知直线线mx3y40与圆圆(x2)2y25相交于两点A、B，若|AB|2，则则m的值值是( )解析：由已知弦长，可知圆心到直线的距离为d 2，利用点到直线 的距离公式代入即可求得答案：B2如图图，从圆圆x22xy22y10外一点P(3,2)向这这个圆圆作两条切线线，则则两切线夹线夹 角的余弦值为值为 ( )解析：tanAPC ，则cosAPB .答案：B3若圆圆x2y24x4y100上至少有三个不同的点到直线线l：axby0的距离为为2 ，则则直线线l的倾倾斜角的取值值范围围是( )解析：圆的方程可化为(x2)2(y2)218.如图，由，得a2b22ab0.解得2 ，或 .则直线l的倾斜角范围是答案：B4. 过点P(1， )的直线线l将圆圆(x2)2y24分成两段弧，当劣弧所对对的圆圆心角最小时时，直线线l的斜率k_.解析：如图，kPC，k .答案：1. 若点P(x0，y0)在圆圆x2y2r2上，则过则过 P(x0，y0)点的切线线方程为为x0xy0yr2.2 过过点P(x0，y0)作圆圆C的切线线，若点在圆圆上切线线有一条；若点在圆圆外切线线有两条求过过P(x0，y0)点与圆圆C相切的直线线方程的方法大致有两种：判别别式法；更多的是使用点到直线线的距离公式使圆圆心到切线线的距离等于圆圆的半径【例1】 自点A(3,3)发发出的光线线l射到x轴轴上，被x轴轴反射，其反射光线线所在直线线与圆圆x2y24x4y70相切，如图图所示，求光线线l所在的直线线方程解答：解法一：设入射光线线l所在直线线方程为为y3k(x3)点A关 于x轴对轴对 称点为为A(3，3)，反射光线线所在直线经过线经过 点A.又光线线的入射角等于反射角，反射光线线所在直线线的方程为为kxy3k30，反射光线线与圆圆x2y24x4y70相切， 1，解之得k .入射光线线l所在直线线方程为为：y3(x3)或y3(x3)，即3x4y30或4x3y30.解法二：圆圆C：x2y24x4y70关于x轴轴的对对称圆圆C的方程为为x2y24x4y70.因入射光线经线经 x 轴轴反射后与圆圆 C 相切，则则入射光线线所在直线线与圆圆C相切设设：l：y3k(x3)即kxy3k30.圆圆C的圆圆心(2，2)到 l 距离与半径相等，1，k ，入射光线线所在直线线方程3x4y30或4x3y30.变式1.点P(3,1)在椭圆椭圆 1(ab0)的左准线线上，过过点P且方向向量为为a(2，5)的光线经线经 直线线y2反射后通过椭圆过椭圆 的左焦点，则这则这 个椭圆椭圆 的离心率为为( )解析：本题考查椭圆的有关概念，直线的方向向量，光线反射定律及有关的计算由题意 3，a23c；又点P(3,1)关于直线y2的对称点为P(3，5)，椭圆左焦点为F(c,0)，由光的反射定律，反射光线经过点P和F且其方向向量为(2,5)， (c3,5)，c32c1，又ac，e .故选A项答案：A已知点P(x，y)在圆圆上，求形如xy， 的最值值等问题问题 ，可类类似于解线线性规规划问题问题 ，利用其几何意义义将问题转问题转 化为圆为圆 的切线问题线问题 解答：(1)如图，若直线l过原点，设所求直线方程为ykx，即kxy0.由 ，解得k .则直线 l 的方程为 xy0或 xy 0；【例2】已知圆C：(x2)2y23，直线l与圆C相切并且 在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程(2)若直线线 l 不过过原点，设设l的方程为为 1，即xya0.由 ，解得a2 .则则直线线l的方程为为xy2 0，或xy2 0.综综上所知所求直线线有四条，方程分别为别为 xy0， xy0，xy2 0，xy2 0.变式2.已知点P(x，y)是圆圆x2y21上任意一点，求：(1)x2y的最大值值；(2)t 的取值值范围围解答：(1)设与x2y0平行的直线线的方程为为x2yC0.由 1，得C .与直线线x2y0平行且与圆圆相切的直线线方程为为x2y 0，由x2y 0知x2y的最大值为值为 ；(2)设过设过 A(2，2)点的直线线方程为为y2t(x2)，即txy22t0.则则 1，3t28t30.解得1. 过圆过圆 内一点M的直线线一定与圆圆相交，当这这条直线线与点M和圆圆心连线连线 垂直时时直线线被圆圆所截得的弦长长最短；2求弦长时长时 可利用弦心距与半径和弦长长的一半构成直角三角形进进行求解【例3】 已知圆圆C：x2y26x8y210和直线线kxy4k30.(1)证证明不论论k取何值值，直线线和圆总圆总 有两个不同交点；(2)求当k取什么值时值时 ，直线线被圆圆截得的弦最短，并求这这最短弦的长长解答：(1)证明：由kxy4k30得(x4)ky30. 直线线kxy4k3过过定点P(4,3)由x2y26x8y210，即(x3)2(y4)24，又(43)2(34)224.直线线和圆总圆总 有两个不同的交点(2)kPC 1.可以证证明与PC垂直的直线线被圆圆所截得的弦最短，因此过过P点斜率为为1的直线线即为为所求，其方程为为y3x4，即xy10.|PC| ，|AB| .变式3.将圆x2y22x4y0 按向量a(1,2)平移后得到O，直线线l与O相交于A、B两点，若在O上存在点C,使 a，求直线线l的方程及对应对应 的点C的坐标标解答：解法一：圆圆x2y22x4y0化为标为标 准方程为为(x1)2(y2)25，按向量a(1,2)平移得O方程为为x2y25. a,且 ， a.kAB .设设直线线l的方程为为y xm，联联立，得将方程代入，整理得5x24mx4m2200.设设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则x1x2 m，y1y2 m， 因为为点C在圆圆上，所以( m)2( m)25，解之，得m .此时时，式中的16m220(4m220)3000.所求的直线线l的方程为为2x4y50，对应对应 的C点的坐标为标为 (1,2)；或直线线l的方程为为2x4y50，对应对应 的C点的坐标为标为 (1，2)解法二：同解法一，得O的方程x2y25.1对于圆的切线问题，当已知圆的圆心在原点，而圆上一点坐标已知时，可利用切线公式求解；而其他情况应利用点到直线的距离公式解决圆的切线以及弦长的计算等问题，应注意解决直线与圆锥曲线的位置关系问题的联系和区别2可利用两点间的距离公式判断两圆的位置关系，两圆的位置关系包括：(1)相离；(2)外切；(3)相交；(4)内切；(5)内含【方法规律】3求切线方程一般有下面4种方法：(1)设切点用切线公式；(2)设有关点利用向量数量积等于零；(3)设切线斜率利用判别式；(4)设切线斜率利用圆心到切线的距离等于半径注：一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中应注意斜率不存在的情况4过圆外一点(x0，y0)作圆x2y2r2的切线，则经过两切点的直线的方程为x0xy0yr2. (2009全国)(本小题满分4分)已知AC、BD为圆为圆 O：x2y24的两条相互垂直的弦，垂足为为M(1， )，则则四边边形ABCD的面积积的最大值为值为 _.【答题模板】解析：如图，过O点分别作AC、BD的垂线，垂足分别为E、F，设OEd1，OFd2，则3，|AC|2 ，|BD|2 ，S四边形ABCD |AC|BD|由0 3知，当 时，S四边形ABCD取到最大值为5.答案：5 对于直线与圆的位置关系，一般可利用圆心到直线的距离进行判断和求解，从理论上可利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系及求根公式判断直线与圆的位置关系及解决求弦长等问题，但在考卷实录中提供的方法是一个学生难以完成的求最值问题，同时解法中也忽略了直线斜率不存在的情况其解法可参看标准答案. 【分析点评】点击此处进入 作业手册