第四章 恒定电场与恒定磁场第四章 恒定电场与恒定磁场主 要 内 容恒定电场基本方程与边界条件、电位、静电比拟法，恒定磁场基本方程与边界条件、矢量磁位、标量磁位Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场概述电荷在外电场作用下做定向运动就形成电流。若这个电流不随 时间变化，就称为恒定电流或直流，否则就称为时变电流或交流。 若导体中存在有恒定电流，则该导体内部必然存在一个不随时间而 变化的电场来驱动电荷做定向运动，这个电场就是导体内部的恒定 电场。同时处于动态平衡状态下的电荷分布也不随时间而变化，这 样的电荷在导体外部空间产生的电场也不应随时间而变化，这个电 场就是导体外部的恒定电场。对载有恒定电流的导体而言，它不但 在导体的内部和外部产生恒定电场，它还在导体的内部和外部产生 另一种性质的场。这种场也不随时间而变化，称为恒定磁场。 Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场静电场静止电荷运动电荷 (电流) 传导电流 导电媒质中 的运动电荷运流电流 真空中的 运动电荷恒定电流时变电流恒定电场恒定磁场相互独立时变电场时变磁场相互为源电路理论 电 场 积分形式 微分形式 电磁场的分类 Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场媒质的分类 Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场导体外部恒定电场基本方程应与无源区静电场基本方程相同：导体内部在维持电流的外部源（电池、发电机）以外的导电媒质中电流恒定 静电场的环量定律 电荷守恒定律 4.1.1 恒定电场的基本方程Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场欧姆定律的微分形式 推广电阻定律 电位与电位梯度 Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场电导率为无限大的导体称为理想导电体。由上式可见，在理想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质。 媒 质电导率(S/m)媒 质电导率(S/m)银海 水4紫 铜淡 水金干 土铝变压器油黄 铜玻 璃铁橡 胶Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场4.1.2 恒定电场的边界条件可导出两导体分界面上的边界条件为根据下面两个积分方程：可见，在电导率不同的导体分界面上，电场强度的切向分量和电流密度的法向分量是连续的。或说，在不同导体的分界面上电场强度的法向分量和电流密度的切向分量是不连续的。Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场已知理想导电体内部不可能存在电场，那么，理想导电体表面不可能存在切向电场，因而也不可能存在切向恒定电流。当电流由理想导电体流出进入一般导电媒质时，电流线总是垂直于理想导电体表面。电导率不为零的导体称为导电媒质 电导率很大的导体称为良导体，其边界性质类似理想导体表面 电导率为零的导体称为理想介质Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场静电场中 线性各向同性的均匀导电媒质中 由此推出，在线性各向同性的均匀导电媒质中的体电荷密度恒为零4.2 .1恒定电场的位函数Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场导电媒质的分界面上一般都存在自由面电荷导电媒质分界面上的面电荷密度特殊情况Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场4.2.2 恒定电流场的能量损耗 在导电媒质中，自由电子移动时要与原子晶格发生碰撞，结果产生热能，这是一种不可逆的能量转换。这种能量损失将由外源不断补给，以维持恒定的电流。 dlUJdS如图，圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用下，d t 时间内有 d q电荷自圆柱的左端面移至右端面，那么电场力作的功为 1. 恒定电场的功率损耗 Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场此式称为焦耳定律的微分形式，它表示某点的功率损耗等于该点的电场强度与电流密度的标积。 那么，单位体积中的功率损耗（或称功率密度）为电场损失的功率 P 为Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场这就是电路中积分形式的焦耳定律。体积V内，总的功率损耗为而圆柱体中的总功率损耗又可表为Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场在静电场中讨论的电容器，空间都是理想介质，导体之间没有电流， 称这些电容器为理想电容器。若电容器中填充具有一定损耗的材料，即电导率不为0，导体之间存在 电流，即漏电流。2. 电容器的漏电导 漏电流形成的损耗可用电导来表示。 电容器的电导（或漏电导）G定义为导体间的漏电流与电位差V的比值 的大小，即Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场是分析的手段，不是求解的方法分析静电场的各种方法，推广应用于恒定电场的计算理想介质内静电场 基本方程和边界条件导体内恒定电场基 本方程和边界条件4.2.3 静电比拟法Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场；反之也然。这种解题思路称为静电比拟法。 例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示： PN电流场PN静电场同时，也可以利用已经获得的静电场结果求解恒定电流场。 Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场例如，已知面积为 S ，间距为 d 的平板电容器的电容 ，若填充的非理想介质的电导率为 ，则平板电容器极板间的漏电导为 又例，单位长度内同轴线的电容 。那么，若同轴线的填充介质具有的电导率为 ，则单位长度内同轴线的漏电导例：通过电容求电导Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场 恒定电场有电流，所以引入电流、电动势、电阻等概 念；但电场本质而言，与静电场是相同的。因为电场 性质只决定于净电荷密度分布，而与电荷是否运动无 关。 恒定电场和静电场，它们的场源电荷密度都是静止不 变的，所以两种电场具有相同的性质，满足相同的场 源关系。如库仑定律，高斯定律，电场环路定律。 满足相同的边界条件，且在相同电位函数定义下，具 有相同的电位方程。通称为静态电场。 恒定电场和静电场的比较Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场在麦克斯韦方程组中，令场量对时间偏导数为零，得到下列方程： 微分形式的基本方程 恒定磁场是无源场 积分形式的基本方程 磁通连续性定律 安培环路定律 4.3.1 恒定磁场的基本方程且有， 第一组方程说明恒定磁场是一个有旋场； 第二组方程说明恒定磁场是一个无源场。与静电场区别：Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场4.3.2 恒定磁场的边界条件在恒定磁场中，不同磁介质的分界面上有： 2 1B1H2B2H1en当边界上不存在表面电流时，边界条件变为可见，即使不存在面传导电流，磁场强度的法向分量和磁感应强度的切向分量也是不连续的。Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场恒定磁场的折射定律 两个区域中的磁场 ,与法线的夹角分别为 、 恒定磁场的折射定律 于是，Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场实例：铁磁物质 与非铁磁物质 的交界面 铁磁体表面的恒定磁场近似垂直于其表面 推论：理想导磁体的表面恒定磁场垂直于其表面 在理想导磁体中不可能存在磁场强度。否则，由式 可见， 将需要无限大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大 的电流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场理想导磁体实际上并不存在，只是一种近似。 H因此，在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度的切向分量，即磁场强度必须垂直于理想导磁体表面。恒定磁场可采用求解静电场类似方法进行求解。 Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场例 设一根载有恒定电流 I 的无限长导线与无限大的理想导磁平面平行放置，如图示。导线与平面间的距离为 h ，试求上半空间任一点磁场强度。 Xhyx = 0IORhhPyx 0IH1 H2H1H2HOR I 0解：类似静电场的镜像法，在导磁平面下方的镜像位置上放置一 根与原线电流相平行的恒定电流I，用来取代导磁平面，等效地 计算导磁平面上方的磁场。为此必须确定镜像电流的大小和方 向，使得原电流和镜像电流在导磁平面上方联合建立的总磁场强 度满足理想导磁体表面边界条件，即在导磁平面上总磁场的切向 分量为零。 Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场依磁介质中的安培环路定律，由原电流和镜像电流在导磁平 面上方任一点P 所建立的磁场强度为 :其中：将P点取在导磁平面上，即 y=0，这时有： 代入 式，令磁场强度切向分量为零，即 ，有： Nanjing University of Information Science & Technology第四章 恒定电场与恒定磁场由此可见，为确保恒定磁场边界条件得到满足，镜像电流与原电流大小相等、 方向相同。这样一来，就可以得到导磁平面上方任意点的磁场强度为：在导磁平面上，即 y=0，有 可见，用上述镜像法求出的磁场满足理想导磁