华中科技大学出版社第2章 控制系统的数学模型 v控制系统的数学模型就是描述系统内部各变量之 间关系的数学表达式。 v数学模型的表示有多种 时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程 和状态方程； 复域中有传递函数、结构图和信号流图； 频域中有频率特性等。 v建立控制系统数学模型的主要方法：分析法和实 验法。 1华中科技大学出版社2.1 线性系统的微分方程 2.2 非线性系统的线性化 2.3 传递函数 2.4 方框图及其变换 2.5 信号流图及其应用 2.6 控制系统的典型传递函数 2.7 用Matlab处理系统数学模型第2章 控制系统的数学模型 2华中科技大学出版社v 分析法建立系统微分方程的一般步骤： v (1) 分析系统的工作原理和系统中各变量之间的关系， 确定系统的输入量、输出量和中间变量。 v (2) 根据系统（或元件）的基本定律（物理、化学定律 ），从系统的输入端开始，依次列写组成系统各元件的 运动方程（微分方程）。 v (3) 联立方程，消去中间变量，得到有关输入量与输出 量之间关系的微分方程。 v (4) 标准化。即将与输出量有关的各项放在方程的左边 ，与输入量有关的各项放在方程的右边，等式两边的导 数项按降幂排列。2.1 线性系统的微分方程3华中科技大学出版社图2-1 RLC电路例2-1 设有由电阻R，电感L和电容C组成的电路，如图2-1所 示。试列写以ui为输入量，uo为输出量的微分方程。解 设回路电流为i，根据基尔霍夫定律(2-2)消去中间变量i，得到系统输入输出关系的微分方程为(2-3) (2-1) 4华中科技大学出版社例2-2 设有由弹簧质量阻尼器构成的机械平移系统，如图 2-2所示。试列写出质量m在外力F作用下，位移x的微分方程 解 根据牛顿定律 (2-5)(2-6) m图2-2 机械平移系统可写出下列方程将方程(2-5)写成标准形式，得到系统的微分 方程为(2-4)5华中科技大学出版社例2-3设有由惯性负载和粘性摩擦阻尼器构成的机械转动 系统，如图2-3所示。试列写以力矩Mi为输入变量，角速 度为输出变量的系统微分方程。 解 根据牛顿定律 (2-8)(2-9) 可写出下列方程将方程(2-8)写成标准形式，求得系统的微分方程为若以负载转角为系统的输出量，即有 则系统的微分方程为(2-10) JMif图2-3 机械转动系 统(2-7)6华中科技大学出版社例2-4设有电枢控制直流电动机系统，如图2-4所示。试 列写以电枢电压ua为输入变量和分别以电动机输出轴角 速度及角位移为输出变量时系统的微分方程。 解 根据基尔霍夫定律，得 根据刚体转动定律，得 图2-4 电枢控制的直流电动机或iaRaLaifuaEa+-消去中间变量，可得 ua与、之间的微分方程(2-11) (2-12) (2-15) (2-16) (2-13) (2-14) 7华中科技大学出版社若电动机的负载转矩，即只考虑阻尼摩擦力矩为负载，并令 Tm=JRa/CmKb，Km=1/Kb，则式(2-17)和式(2-18)可表示为(2-19) (2-20) 若考虑到电机中的电感La和阻尼系数f一般都较小，可以忽略不计， 则式(2-15)和式(2-16)可分别简化为 (2-17) (2-18) 由例2-3和例2-4可知， 系统的微分方程式与所选择的输入量和输出量有直接的关系。8华中科技大学出版社2.2 非线性系统的线性化 v实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等非线 性特性，严格地讲，任何一个元件或系统都不同 程度地具有非线性特性。 v线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的 理论还远不完善。 v在研究系统时尽量将非线性在合理、可能的条件 下简化为线性问题，即将非线性模型线性化。 9华中科技大学出版社非线性函数的线性化是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数， 忽略二次以上高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程。(2-22)式中， 为工作点(x0,y0)处的斜率，即此时以工作点处的切线代替 曲线，得到变量在工作点的增量方程，可见经上述处理后，输出与输入 之间就变成了线性关系。 如果系统中非线性元件不止一个，则必须对各非线性元件建立它们工作点的线性 化增量方程。(2-21) xyx0y0 y00图2-5 非线性特性假如元件的输出与输入之间的关系y =f(x)的曲线如 图2-5所示，元件的工作点为(x0,y0)。将非线性函数 y=f(x) 在工作点(x0,y0)附近展开成泰勒级数，得当(x-x0)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成10华中科技大学出版社例2-5 如图2-6所示为一铁芯线圈电路，其磁通与线圈中电流i之间 的关系如图2-7所示，试列写以ui为输入量，i为输出量的电路微分 方程。 解 设铁设铁 芯线线圈磁通变变化时产时产 生的感应电势为应电势为 根据基尔霍夫定律可写出电路的微分方程为(2-23) (2-24) 图2-7 (i)曲线ii00 y00图2-6 铁芯线圈由图2-7所示可知，磁通与线圈中电流i之间为非线性关系，即式 (2-24)中的系数d/di随线圈中电流的变化而变化，所以ui与i为非 线性关系。 11华中科技大学出版社假设电路原工作在某一平衡状态(u0, i0)。当工作过程中线圈的端电压和电 流只在平衡点附近变化时，即有式中， 是工作点i0处的导数值，为线圈的电感L，即 (2-27) (2-28) ， 线圈中的磁通对0也有增量变化，假如在i0附近连续可微，将 在i0附近展开成泰勒级数，即因i是微小增量，二阶以上的高阶无穷小略去，得近似式 (2-25) (2-26) 则式(2-27)可写成(2-29) 12华中科技大学出版社将系统中的ui，i，均表示成工作点附近的增量，即这就是铁芯线圈的增量化方程。为简便起见，常略去增量符号而写成 (2-32) (2-33) 代入式(2-24)，得 (2-30) (2-31) (2-34) L为常值，可见经上述处理后，与i的非线性关系（图2-7）可变成(2-29) 的线性关系。 13华中科技大学出版社v 在求取线性化增量方程时应注意： v (1) 线性化方程通常是以增量方程描述的； v (2) 线性化往往是相对某一工作点（平衡点）进行 的。工作点不同，则对应的切线斜率不同，线性化方 程的系数也就不同，因此，在线性化之前，必须确定 元件的工作点； v (3) 变量的变化必须是小范围的。变量只有在足够 小的范围内变化，才能保证线性化具有足够的精度； v (4) 对于严重非线性元件或系统，原则上不能用小 偏差法进行线性化，应利用非线性系统理论解决。14华中科技大学出版社v 控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学 模型。在给定外作用和初始条件下，求解控制系统的微分 方程可得到系统输出响应的表达式，并可作出输出量的时 间响应曲线，从而直观地反映出系统运动的动态过程。 但是，当系统参数或结构改变，则需要重写微 分方程。微分方程阶数越高，工作越复杂。 v 传递函数是经典控制理论中广泛采用的一种数学模型。利 用传递函数不必求解微分方程就可分析系统的动态性能， 以及系统参数或结构变化对动态性能的影响。2.3 传递函数15华中科技大学出版社线性定常系统的传递函数:线性定常系统在零初始条件下，输 出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。图2-8 传递函数方框图设线性定常系统的微分方程为设设c(t)和r(t)及其各阶导阶导 数初始值值均为为零，对对式(2-35)取拉 氏变换变换 得则系统的传递函数为 (2-32) (2-30) (2-31) 2.3.1 传递函数的定义16华中科技大学出版社v (1) 传递函数是微分方程经拉氏变换导出的，而拉氏变 一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定 常系统。 v (2) 传递函数只与系统本身的结构和参数有关，与系统 输入量的大小和形式无关。 v (3) 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之 前，系统是处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不 能反映系统在非零初始条件下的运动规律。 v (4) 传递函数是复变量s的有理分式。分母多项式的最高 阶次n高于或等于分子多项式的最高阶次m，即nm。这 是因为实际系统或元件总是具有惯性且能源有限。 v (5) 一个传递函数只能表示单输入单输出的关系。对多输 入多输出系统，要用传递函数阵表示。 2.3.2 传递函数的基本性质17华中科技大学出版社(6) 传递函数(2-37)可表示成式中，p1, p2, , pn 为分母多项式的根，称为传递函数的极点；z1, z2, , zn 为分子多项式的根，称为传递函数的零点；Kg称为根轨迹放大系数； 式（2-38）称为传递函数的零极点形式。系统的零、极点完全取决于系统的结构和参数。将零、极点标在复平面上，得到传递函数的零极点分布图，其中零点用 “o”表示，极点用“”表示。例如图2-9 零极点分布j-10-2-31-11,其零极点分布图如图2-9所示。传递函数(2-37)还可以表示成：式中，i(i=1,m)和Ti(i=1,n)为时间常数；Kk称为系统的开环放大系数。 式（2-39）称为传递函数的时间常数形式。(2-38) (2-39) 18华中科技大学出版社1. 比例环节：(2-40) R(s)C(s)R(s)图2-10 比例环节K 式中，K放大系数或增益。传递函数为比例环节的动态方程为(2-41) 例2-6 如图2-11所示为运算放大器。设输入为ui(t)，输出为uo(t)，求其传 递函数。 解 根据电路定律，可知该电路的微分方程为式中，K= -R2/ R1传递函数为图2-11 运算放大器2.3.3 典型环节的传递函数输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节。19华中科技大学出版社2. 积分环节(2-42) 式中，Ti 积分时间常数。 传递函数为积分环节的动态方程为(2-43) 例2-7 如图2-13所示为运算放大器。设输入为ui(t)，输出为 uo(t)，求其传递函数。 解 根据电路定律，可知该电路的微分方程为传递函数为R(s)C(s)R(s)图2-12 积分环节图2-13 运算放大器20华中科技大学出版社3.微分环节(2-44) 式中，Td 微分时间常数。 传递函数为微分环节的动态方程为(2-45) 例2-8 如图2-15所示为一电感线圈。设输入为i(t)，输出为 uo(t)，求其传递函数。 解 根据基尔霍夫定律，可知该电路的微分方程为 传递函数为R(s)C(s)R(s)图2-14 微分环节图2-15 电感线圈21华中科技大学出版社4.惯性环节(2-46) 式中，T惯性环节的时间常数；K惯性环节的增益或放大系数。 传递函数为惯性环节的动态方程为(2-47) 例2-9 如图2-17所示RC网络。设输入为ui(t)，输出为uo(t)， 求其传递函数。 解 根据基尔霍夫定律，可知该电路的微分方程为 对上式进行零初始条件下的拉式变换R(s)C(s)R(s)图2-16 惯性环节图2-17 RC电路22华中科技大学出版社5.一阶微分环节 (2-48) 式中，时间常数 传递函数为一阶微分环节的动态方程为(2-49) 消去中间变量I(s)，得到 传递函数为R(s)C(s)R(s)图2-18 一阶微分环节23