第二章 插值法2.3 Newton插值法13.4 Newton插值法我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成共n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？2显然，多项式组线性无关， 因此，可以作为插值基函数3有再继续下去待定系数的形式将更复杂为此引入差商和差分的概念4一、差商(均差)定义1.称依此类推5差商具有如下性质(请同学们自证)：显然6(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变如用余项的 相等证明7差商的计算方法(表格法):规定函数值为零阶差商差商表Chashang.m89二、Newton插值公式设插值多项式满足插值条件则待定系数为10称定义由插值多项式的唯一性,Newton插值公式的余项为为k次多项式11因此可得12因此一般Newton插值 估计误差的 重要公式另外131415四、Newton插值公式由差商与向前差分的关系Newton插值基本公式为如果假设1.Newton向前(差分)插值公式16二、差分定义2.17依此类推可以证明如18差分表19在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系20依此类推21三、Newton基本插值公式设插值多项式满足插值条件则待定系数为22因此可得23因此一般Newton插值 估计误差的 重要公式另外24四、Newton插值公式由差商与向前差分的关系Newton插值基本公式为如果假设1.Newton向前(差分)插值公式25则插值公式化为其余项化为26称为Newton向前插值公式插值余项为27插值余项为根据向前差分和向后差分的关系如果假设可得Newton向后插值公式2.Newton向后(差分)插值公式28五、Newton插值公式的使用由于高次插值多项式的Runge现象,Newton插值公式 一般也采用分段低次插值分段线性Newton插值(1)(2)Newton分段二次插值 29(3)Newton分段三次插值余项为余项为30(4)从(2),(3)两种情况可知,若对分段二次及分段三次插值都没有相应的插值公式若对分段三次插值也没有相应的插值公式此时应改用Newton基本后插公式,此处只列出公式余项为31(5)插值余项为分段线性Newton向前(差分)插值(6)分段二次Newton 向前(差分)插值32(7)分段二次Newton 向后(差分)插值依此类推,请同学们写出分段三次 向前和向后Newton公式及余项在实际应用中,究竟使用几次插值多项式呢?33例1. 教材P87.例 1，用Newton基本插值公式计算例2. 教材P87.例 2，用Newton等距插值公式计算五、Newton基本插值公式的算法设计Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时, 计算只要增加一项,这是Lagrange插值无法比的.但是Newton插值仍然没有改变Lagrange插值的插值曲线 在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导 等缺点（略）34