第七章非线性系统分析1基本要求 1. 明确非线性系统动态过程的本质特征。掌 握系统中非线性部分、线性部分结构归化的 方法。 2. 熟练掌握二阶线性方程的相轨迹，正确理 解焦点、节点、中心、鞍点、极限环等概念 。 3. 熟练掌握由相轨迹计算时间的方法。已知 相轨迹大致画出时间响应曲线的图形。 4. 对简单的非线性系统能熟练写出相轨迹的 解析表达式。能通过等倾线方法作出相轨迹 。2 5. 对分段线性的非线性系统，能决定开关线, 写出分区域相轨迹的方程式。 6.对具有外作用和或具有速度反馈的情况能合 适地选取相坐标作出相轨迹图。 7.正确理解谐波线性化的条件及描述函数的概 念, 8.了解描述函数建立的一般方法，明确几种典 型非线性特性负倒描述函数曲线的特点。 9.熟练掌握运用描述函数法分析系统中是否有 周期运动, 判断周期运动的稳定性。3简介 非线性系统一般理解为非线性微分方程 所描述的系统。 线性系统的本质特征是叠加原理，因此 非线性系统也可以理解为不满足叠加原 理的系统。本章将介绍工程上常用的相平面法和描述函 数法，并通过这两种方法揭示非线性系统的 一些区别于线性系统的现象。47-1 非线性问题概述 一.实际系统中的非线性因素图7-1 一些常见的非线性特性5 除上述实际系统中部件的不可避免的非 线性因素外，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结构，人们还常常在系 统中引入非线性部件或者更复杂的非线 性控制器。 通常，在自动控制系统中采用的非线性 部件，最简单和最普遍的就是继电器。6图7-2 电磁继电器的工作原理和输入-输出特性7二.非线性系统和线性系统有不同的运动规律在线性系统中，系统的稳定性只取决于系统的 结构和参数，对常参量线性系统，只取决于系统 特征方程根的分布。而和初始条件、外加作用没 有关系。对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概 念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。 非线性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及 参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。8线性系统自由运动的形式与系统的 初始偏移无关。非线性系统则不一样，自由运动的时 间响应曲线可以随着初始偏移不同而有 多种不同的形式。图7-4非线性系统在不同初 始偏移下的自由运动9n线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况，而这一周期运动是物理上不可能实现的 。非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有 可能发生一定频率和振幅的稳定的周期运动，如图7 5所示，这个周期运动在物理上是可以实现的，通 常把它称为自激振荡，简称自振。图7-5非线性系统 的自激振荡10n线性系统中，当输入量是正弦信号时 ，输出稳态分量也是同频率的正弦函数 ，可以引入频率特性的概念并用它来表 示系统固有的动态特性。非线性系统在正弦作用下的输出比较 复杂。11三.非线性系统的分析方法在线性系统中，一般可采用传递函数、频 率特性、脉冲过渡函数等概念。在工程实际中对于存在线性工作区域的非 线性系统，或者非线性不严重的准线性系统， 常常采用线性化的方法进行处理，然后在线性 分析的基础上加以修正。而对于包括像继电特 性那样根本不存在线性区的非线性特性，工程 上常用相平面方法和描述函数方法进行研究。127-2 常见非线性因素对系统运动特性的影响一.不灵敏区不灵敏区又叫 死区，系统中 的死区是由测量元件的死区、 放大器的死区以及执行机构的 死区所造成的。图7-6 死区特性13死区非线性特性的数学表达式如下：式中14图7-7 包含死区的非线性系 统图7-8斜坡输入时 的系统输出量15二、饱和图7-9 部件的饱和现象饱和特性也是系统中最常见的一种 非线性特性。16理想化后的饱和特性典型数学表达式为 式中： a 是线性范围， K为线性范围内的传递系 数（对于放大元件，也称增益）。17粗略地看，饱和特性的存在相当于 大信号作用时，增益下降图7-10 饱和特性图7-11 饱和特性的等效增益18图7-13 图7-12系统的响应若随动系统的方块图如图712所示。当系统输入端加上一个幅 值较大的阶跃信号时，若 放大器无饱和限制，系统 的时间响应曲线如图7 13中的曲线1；放大器有 饱和限制时的时间响应曲 线如图713中的曲线2。图7-12 非线性系 统19若随动系统的方块图如图715所示。图7-14 根轨迹图图7-15 非线性系 统根轨迹分析 ：20图7-16系统的时间响应当系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散 的；若系统中存在饱和特性的限制，则系统不再发 散，而是出现稳定的 等幅振荡， 如图716中的 曲线2。21三、间隙图717 齿轮传动中的间 隙传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控 制系统中的一种常见的非线性因素。22间隙特性的典型形 式如图7-18所示（7-6）数学表达式为图718 间隙非线性特性23 间隙对系统性能的影响也很复杂，一般说 来，它会增大系统的静差，使系统波形失 真，过渡过程的振荡加剧。图7-19 间隙特性的输入-输出波形24四、摩擦图7-20 直流电动机的方框 图摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个 很重要的非线性因素。它的影响，从静态方面看， 相当于在执行机构中引入了死区，从而造成了系统 的静差，这一点和死区的影响相类似。图7-21 摩擦力矩示意图25图7-22 小功率随动系统方框图图7-23 低速爬行现象267-3 相平面法基础 相平面法 是一种求解二阶常微分方程 的图解方法。设一个二阶系统可以用下列常微分方程描 述 令 , （7-9）则（7-11）27相平面:描绘相平面上的点随时间变化的曲线叫 相轨迹。 通常把方程（79）称为相轨迹微分方程 式简称 相轨迹方程。 将（711）式的积 分结果称为 相轨迹表达式。相轨迹:把具有直角坐标 的平面叫做相平面 。28一、线性系统的相轨迹 设系统的微分方程为（7-12）系统（75）的特征方程为 特征方程（76）的根为n式（7-12）所表示的自由运动，其性 质由特征方程根的分布特点所决定。29（1）无阻尼运动由方程（7-14），相轨迹方程为其中相轨迹如图724所示，在相平面是为一族同心的 椭圆。 每个椭圆相当于一个简谐振动。（7-16）30图7-24 系统无阻尼运动时的相轨 迹n相轨迹的方向如 图71中箭头所示 。 n相轨迹垂直穿过 横轴。 n坐标原点处相轨 迹的斜率不能由该 点的坐标唯一地确 定，这种点叫做奇 点。图71的奇点(0,0) 通常称为 中心 31（2）欠阻尼运动其中（7-17）方程（7-12）的解为32 相轨迹如图725所 示。从图中可以看出 ，欠阻尼系统不管初 始状态如何，它经过 衰减振荡，最后趋向 于平衡状态。坐标原 点是一个奇点，它附 近的相轨迹是收敛于 它的对数螺旋线，这 种奇点称为稳定的焦点。图7-25 系统欠阻尼运动时的相轨迹33（3）过阻尼运动 这时方程（712）的解为 相轨迹如图73所示 。34图7-26 过阻尼时的相轨迹图7-27 过阻尼运动的时间响应坐标原点是一个奇点，这种奇点称为 稳定的节点。 35（4）负阻尼运动 相轨迹图如图728所 示，此时相轨迹仍是 对数螺旋线，但相轨 迹的运动方向与图7 25不同，随着的增长 ，运动过程是振荡发 散的。这是奇点称为 不稳定的焦点 。图7-2836 系统的相轨迹图 如图729，奇 点称为不稳定的节点 。图7-2937 此时相轨迹如图730。奇点称为鞍点该奇点是不稳定的 。 图7-30 斥力系统的相轨迹38图7-31 特征根和奇点的对应关系39二、相轨迹作图法设系统微分方程如 化为表示相平面上的一条曲线，相轨迹通过曲线 上的点时所取的斜率都是这条曲线就称为 等倾线倾线。 令其中 为某个常数1、等倾线法40例子 微分方程 或等倾线是直线，它的方程为：41取不同值时，可 在相平面上画出若 干不同的等倾线， 在每条等倾线上画 出表示该等倾线斜 率值的小线段，这 些小线段表示相轨 迹通过等倾线时的 方向，从相轨迹的 起点按顺序将各小 线段联接起来，就 得到了所求的相轨 迹 。图7-3242极限环在图7-33中，出现 了一种孤立的简单 的封闭相轨迹。这 种相轨迹称为稳定 的极限环。图7-3343图7-34 各种类型的极限环44三、由相平面图求时间解 相轨迹上坐标为 点移动到 点所 需的时间，可按下式计算（7-37）这个积分可用通常近似计算积分的方法求出， 因此求时间解的过程是近似计算的过程。451、用 曲线计算时间利用式（737）计 算时间，在某些情 况下可直接进行积 分运算 。图7-37462、用小圆弧逼近相轨迹计算时间 在小圆弧逼近的方法中，相轨迹是用圆 心位于实轴上的一系列圆弧来近似。 如图78AD段，可用轴上的P、Q、R、点为圆心，以、为半径的小圆弧来逼近，这样就有47 代入（737）式得（7-38）令48 图7-38用小圆弧逼近相轨迹计算时间49例7-2 图示相平面上有两条封闭的相轨迹，已知 和均是圆弧的一部分，试计算这两条封闭相轨迹所对应的周期运动的周期。图7-3950解： 相轨迹 和 对应的周期运动，他们的周期分别为 和 秒， 则有517-4 非线性系统相轨迹分析 (1)根据系统结构形式选取相坐标，列 写微分方程。 (2)画相轨迹图 (3)根据相轨迹图分析系统的运动情况 。 52一、继电型系统 系统中有一个或几个元件具有继电型 非线性特性的系统称为继电型系统。图7-40 继电型非线性特性53若继电系统的方框图如图741所示 研究图中继电特性为图7 40(b)的情况图7-4154 很明显，相平面以直线 为界被分成三个不同的区域，在每个区域里，系统的相轨迹完全由一个线性微分方程所确定551、在 ch的区域系统方程为其中56所以当572、在|c|e0时的相轨迹78图7-55 kKe0Ke0,R=0797-5 描述函数 描述函数可以定义为非线性特性输出的一 次谐波分量与输入正弦量的复数比 。若输出的一次谐波分量为 输入的正弦量为则描述函数的数学表达式为式 （7-75） 所示： 80图7-57 理想继电特性在正弦输入时的输出波形和振幅频 谱 81其中为非线性特性在输入信号作用下的输出。82例7-3 若非线性特性为（7-76）其特性曲线如图7-58。83令 则有84图7-58 式（7-76）的输入-输出特性 图7-59 描述函数85一、不灵敏区特性的描述函数86（7-83 ） 根据描述函数的定义，可求出不灵敏区 的描述函数为87图760 不灵敏区特 性及其输入输出波形88二、饱和特性的描述函数89 图761表示了饱和特性和它在正弦信 号作用下的输出波形。 饱和特性的描述函数为从式可知，饱和特性的描述函数是输入幅值的实值函 数，与输入频率无关。90图7-61 饱和特性及其输入-输出波形91三、间隙特性的描述函数9293间隙特性的描述函数为 图762表示了间隙特性和它在正弦信号 作用下的输出波形94图7-62 间隙特性及其输入-输出波形95四、继电特性的描述函数图763表示了具有滞环和不灵敏区的继 电特性和它在正弦信号作用下的输出波形969798继电特性的描述函数为 可知具有滞环和不灵敏区的继电特性的描述 函数，和输入信号的频率无关，只是输入幅 值的复数值函数。99图7-63继电特性及其输入-输出波形100当 h=1,两位置理想继电特性的描述函数当m=1,三位置理想继电特性的描述函数当m=-1,得到具有滞环的两位置继电特性的描述函数1017-6