l手工编程的数学处理(数值计算)l根据零件图样，按照已确定的加工路线和允许的编 程误差，计算出数控系统编程时所需要的有关各点 的坐标值，称为数学处理或数值计算。l手工编程时，在完成工艺分析和确定进给路线以后 ，数值计算就成为程序编制中一个关键性的环节。 作为一名编程人员，应做到对于一些由圆弧、直线 组成的平面零件，能够通过数学方法(如三角几何 、解析几何等)手工计算出有关各点的坐标值；对 于复杂零件能借助于计算机完成数值计算或直接采 用计算机自动编程。l手工编程的数学处理(数值计算)l具体地说，数学处理就是计算出零件轮廓上或刀具 刀位点（中心）轨迹上一些关键点的坐标数据、增 量数据。l数学处理的内容繁简悬殊甚大。点位控制系统只需进行简单的 尺寸计算，而轮廓控制系统则要复杂得多。不同的轮廓系统的 编程计算差别也很大，如两坐标联动的比多坐标联动的编程计 算简单。所以当零件的形状比较复杂以至采用两轴联动的方法 不能加工时，通常采用自动编程。l如果用户单位没有购买自动编程设备，但有较高档的微机，可 采用工程中常用的曲线、曲面和曲线、曲面拟合（求通过给定 点的曲线或曲面的过程）的多轴联动数控加工计算方法，进行 微型计算机辅助计算。3一、基点坐标计算构成零件轮廓的不同几何素线的交点和切点称为基点。如直线和直 线的交点、直线和圆弧的交点或切点、圆弧和圆弧的交点或切点等。数 控机床一般只有平面直线和圆弧插补功能，因此，对于由直线和圆弧组 成的平面轮廓，编程时数值计算的主要任务是求各基点的坐标。现以图所示的零件为例，说明 平面轮廓中只有直线和圆弧两种几何 元素的数值计算方法。图示零件轮廓 由四段直线和一段圆弧组成，其中的 A、B、C、D、E 即为基点，它们的 坐标值从图样尺寸可以很容易找出。 C点是过B点的直线与中心为、半径 为30mm的圆弧的切点。这个尺寸， 图样上并未标注，所以要用解联立方 程的方法，来找出切点C的坐标。*4二、节点坐标计算当采用不具备非圆曲线插补功能的数控机床加工非圆曲线轮廓的零件 时，在加工程序的编制时，常常需要用多个直线段或圆弧段去近似代 替非圆曲线，这个过程称为拟合（逼近）处理。拟合线段的交点或切 点称为节点 。图中的G点为圆弧拟合非圆曲线的节点，图中的A、B、 C、D点均为直线逼近非圆曲线时的节点。5二、节点坐标计算节点的计算方法节点计算的难度和工作量都较大，故宜通过计算机来 完成；必要时，也可由人工计算完成，但这对编程者 的数学处理能力要求较高。而且拟合结束后，还必须 通过相应的计算，对每条拟合段的拟合误差进行分析 、检验。 常用的逼近计算方法有： 等间距直线插补法 等插补段直线逼近法 等误差直线逼近法 圆弧逼近法l数值计算的主要内容l编程的允许误差l编程中的误差程由三部分组成：逼、插、圆。即 ： 程=f(逼，插，圆) 式中：l逼 采用近似计算方法逼近列表曲线、自由曲面轮廓时所 产生的逼近误差； l插采用直线段或圆弧段插补逼近零件轮廓曲线时产生的 误差；l圆数据处理中，为满足分辨率（最小设定单位）的要求 ，有个数据圆整（四舍五入）问题，从而产生的误差。 零件图上给出的公差，只有一小部分允许分配给程， 一般取程=(0.10.3)零件公差。要想缩小编程误差程，就要增加插补段，减小逼；而 减小逼将增加数值计算等编程的工作量。所以，合理的选择 逼是编程中的重要问题之一。l基点坐标的计算l通常把零件轮廓的各个几何元素间的连接点（交点或切点）称 为基点，如两直线的交点、直线与圆弧的切点或交点、圆弧与 圆弧的切点或交点、圆弧与二次曲线的切点或交点等。l大多数零件轮廓由直线和圆弧段组成，这类零件的基点计算较 简单，用零件图上已知尺寸数值就可计算出基点坐标，如若不 能，可用联立方程式求解法求出基点坐标。l节点坐标的计算lCNC系统均具有直线和圆弧插补功能，有的还有抛物线插补等 功能。当加工非圆曲线轮廓时，常用直线或圆弧段逼近。这种 人为的逼近线段的交点称为节点。l编程时就要计算出各线段长度和节点坐标值。l刀具中心轨迹的计算l全功能的CNC系统具有完善的刀具补偿功能。编程时，只要计 算出零件轮廓上的基点和节点坐标值或增量值、给出有关的刀 具补偿指令和刀具补偿值，数控装置就可自动进行刀具偏移计 算，算出所需的刀具中心轨迹坐标值，控制刀具运动。l有的经济型数控系统没有刀具补偿功能，此时应计算出刀具中 心轨迹的基点和节点坐标，包括尖角（拐点）过渡处的计算， 作为编程的输入数据。l辅助计算辅助计算是为编制特定数控机床加工程序准备输 入数据。不同的数控系统，其辅助计算内容和步骤 也不尽相同。l增量计算：l用G91编程时，输入的尺寸字为增量值。如直线段要计算出直 线终点相对其起点的坐标增量值；圆弧段要计算出圆弧终点相 对起点的坐标增量值和圆弧的圆心相对圆弧起点的坐标增量值 （I，J，K）或者圆弧半径R。l用G90编程时，对直线段不必计算增量值，可直接使用直线的 终点坐标值；对圆弧段的终点，也不计算增量值而直接使用圆 弧终点坐标值，但要计算圆心相对圆弧起点的增量值（I，J， K）或者圆弧半径R。l脉冲数计算：l大多数的CNC系统均可用小数点编程，即尺寸字的数值是直接 输入带小数点的十进制数，CNC装置能自动将其转换为所要求 的数据。低档数控系统不具有小数点编程功能，就需要将尺寸 字的数值除以脉冲当量（分辨率或最小设定单位），换算成脉 冲数的形式输入。l辅助程序段的数值计算：l由对刀点到切入点的切入程序，由零件切出点返回到对刀点的 返回程序，以及尖角过渡程序等属辅助程序段，需计算出辅助 程序段所需的尺寸字数值。l非圆曲线轮廓零件的数值计算l非圆曲线轮廓零件的种类很多，但不管是哪一类的 非圆曲线零件，编程时用数学方程式描述所做的数 学处理是相类似的。l一是选择用直线或圆弧段逼近非圆曲线；l二是如何计算节点坐标值。l用直线段逼近零件轮廓曲线的节点计算，常用的计 算方法有：等间距法、等弦长法、等误差法、比较 迭代法等。l图2-26（a）为等间距法，取变量坐标增量X相等，然后 求出曲线上相应的节点，再将相邻节点联成直线，用这些 直线段组成的折线代替原来的廓形曲线。坐标增量X取得 愈小，则逼愈小，但节点数增多，程序段也就增多，编程 费用高。等间距法与等弦长法等方法相比，具有计算较简 单的优点。l图2-26（b）所示的等弦长法，是使所有逼近直线段长度相 等。它比等间距法的程序段数少些，但当曲线曲率半径 变化较大时，所求节点数将增多，所以此法适用于曲线曲 率变化不很大的零件廓形。l等误差法是使逼近直线段与零件廓形的误差相等，此 误差即为逼。所以此法较上两种方法合理，特别适用 于轮廓曲线曲率变化较大的且复杂的零件。等误差法 见图2-27。下面介绍用等误差法计算节点坐标的方法 。 l等误差直线逼近的节点计算设零件轮廓曲线的数学方程为：l确定允许误差逼的圆方程l即以起点 为圆心，以允许的逼误差为半径画 允差圆。其圆方程为： l式中， 为已知的A点坐标值。将该方程写成：l求允差逼圆与曲线 的公切线MN的斜率k（ MN 与允差圆相切于M点，与曲线相切于N点）：作允差圆（逼圆）与曲线 的公切线MN ，则可 求公切线MN的斜率k为：l为求解 ，需联立求解下列方程组：l求弦长ab的方程：过A点作斜率为k的直线，则得到直线段AB(ab)。即AB 的斜率为k，即使AB平行于MN，则弦ab的方程式为：l联立曲线方程和弦方程，求得其交点（节点）B的坐 标：交点 的坐标值，便是第一个节点的坐标值。 再从B点开始重复上述的步骤，可以依次求得后续的各 节点C，D，的坐标值。l使用等误差法，虽然计算较繁杂，但可在保证允许的 逼的条件下，使程序段数减小。对于曲率变化较大的 曲线，用等误差法求得的节点数最少。l等误差法的不足之处是直线段的连接点（节点）处不 光滑。若采用圆弧段逼近，便可以避免这一缺点。l圆弧逼近的节点计算用圆弧段逼近零件轮廓曲线的节点计算，零件轮 廓曲线用y=f(x)表示，并使圆弧段逼近误差小于或 等于逼。l曲线用圆弧逼近常采用相交圆弧法和相切圆（弧）法 ，相交圆弧法又包括了曲率圆法（圆弧分割法）、三 点（作）圆法等。其中：l三点圆法是通过已知三个节点求圆并作为一个圆程序 段；l相切圆法则是通过已知四个节点分别作两个相切的圆 ，求出两个圆程序段，两相邻圆弧段彼此相切。l这两种方法都是先用直线逼近法求出各节点，再求出 各圆，计算较繁琐。l图2-28为曲率圆法。这是一种等误差圆弧逼近法。设 零件轮廓曲线的数学方程为： y=f(x)。 l以曲线y=f(x)的起点 开始作曲率圆，A点曲率 圆的圆心On坐标(xn，yn)为：半径l已知允许误差逼，以点On(xn，yn)为圆心， 为半径作偏差圆，求偏差圆与曲线的交点 。 解联立方程：可求得点 。 l求过 和 两点，半径为 的圆的圆心 On+1。即求：的交点On+1(xn+1，yn+1)。该圆即为逼近圆，其圆弧的 起点为 ，终点为 ，半径 ，圆心 为On+1(xn+1，yn+1) 。以这些参数编制圆弧程序段。l重复上述步骤，依次求得其他逼近圆。l应注意的是，在上述逼近计算中，只是计算了曲线轮 廓的逼近线段，对于无刀具半径自动补偿功能的机床 ，还应使用等距线或等距圆的数学方法计算刀具中心 的各节点及线段，作为编程数据。l在直线逼近和圆弧逼近中，由于直线逼近的计算简便 ，故应用得较多。而在直线逼近算法中，以等误差法 的程序计算量最少。*24三、辅助计算1无刀具半径补偿功能的数值计算 2增量坐标值的计算在铣削加工中，是用刀具中心作为刀位点进行编程；在车削加 工中，是用车刀的假想刀尖点作为刀位点，也可用刀尖圆弧半 径的圆心作为刀位点进行编程。 在数值计算过程中，通常先在零件图样上设定编程坐标原点， 然后按绝对坐标值计算出运动段的起点坐标及终点坐标。但 在编程过程中，坐标尺寸不一定全部按绝对坐标值给出，也可 以以增量方式表示，这时就要进行数值换算，其换算公式为：增量坐标值=终点坐标值-起点坐标值*25三、辅助计算3按进给路线进行一些辅助计算 在平面轮廓加工中，常要求刀具切向切入和切向切出。例如铣削图1所 示内圆弧时，最好安排从圆弧过渡到圆弧的加工路线，以便提高内孔表 面的加工精度，这时过渡圆弧的坐标值也要进行计算。对边界敞开的零 件，常要求从边界外进刀和退刀。例如图2所示，在最后单独加工中间 R10圆弧时，刀具不应该从A点到B点进行加工，而应该从C点到D点进行 加工。这时，应该计算C、D点的坐标，而不需要计算A、B点的坐标值 。*26表2.1 数控系统统指令字符一览览表机 能地 址意 义零件程序号或O或P程序编号：l4294967295程序段号N程序段编号：N04294967295准备机能G指令动作方式(直线、圆弧等)G00-99尺寸字X， Y， Z A， B， C U，V，W坐标轴的移动命令99999999R圆弧的半径，固定循环的参数I，J，K圆心相对于起点的坐标，固定循环的参数进给速度F进给速度的指定 F024000主轴机能S主轴旋转速度的指定 S09999刀具机能T刀具编号的指定 T099辅助机能M机床侧开关控制的指定 M099补偿号H， D刀具补偿号的指定 0099暂停P，X暂停时间的指定 秒程序号的指定P子程序号的指定P14294967295重复次数L子程序的重复次数，固定循环的重复次数参数P，Q，R,U,W,I,K,C,A固定循环的参数倒角控制C，R