第二节第二节 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、任意项级数的敛散性预备知识：预备知识： 2.单调有界数列必有极限。1.收敛数列必有界。3.级数收敛与发散的定义4.级数的性质1一、正项级数及其审敛法正项级数：正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界.定理1部分和数列单增：证级数收敛有界,（比较审敛法） 设定理21) 若收敛, 收敛; 则2) 若发散, 发散.则大敛则小敛，小散则大散.证明提示 ：由定理1易证2例如, 级数故原级数发散.发散,而推论1若存在自然数N, 使得当和都是正项级数, 设成立,nN 时,则收敛;成立,发散.则收敛,若发散, 若3例1 讨论P-级数的收敛性, 其中解当时,当时,4意义：p -级数是比较 审敛法的重要参照.级数当时收敛; 当时发散.结论推论2为正项级数,设则级数收敛; 如果则级数发散. 如果有 p1, 使例2. 判别下列级数的敛散性:解发散, 故原级数发散。收敛, 故原级数收敛。5注注: : 用比较审敛法判断正项级数的敛散性:1)若要判断该级数收敛,需要找一个比该级数大的收敛的级数与它进行比较;2) 若要判断该级数发散,需要找一个比该级数小的发散的级数与它进行比较.定理3（比较审敛法的极限形式）设为正项级数,若则的敛散性相同.与补充说明：证 对存在自然数 N,当 nN 时, 有由比较审敛法知结论成立.6例3、补例、例4判别级数的敛散性.解 (1) 取而发散, 故原级数发散.解 (2)收敛, 故原级数收敛.解 (3) 而收敛,故原级数收敛.取取7用比较审敛法判别级数 的敛散性.PP2521(5)解 8定理4 （比值审敛法,DAlembett判别法）设正项级数当时，级数发散;当时,级数收敛;当时，敛散性不定. （不需借助其它级数,仅由级数本身的一般项判定级数敛散性的判别法.）解级数收敛.级数发散.级数收敛.例5、例6、PP252:2(3)判别级数的敛散性:9(i) 1, 取适当小的正数 , 使得 1,由极限定义, 当 nm 时有不等式类似可证,(iii) =1, 级数可能收敛也可能发散. 易就 p 级数举出反例.10PP317:2(3)判别级数的敛散性:解.收敛, 故原级数收敛.11解级数收敛.收敛, 故原级数收敛.故原级数收敛.而收敛,的敛散性:例 判别级数(PP317:2(3)12例7 判别级数的敛散性.解比值审敛法失效.但而收敛，收敛.由比较审敛法，得注：1.比值判敛法一般适用于 中含有 n! 或关于n 的若干连乘积.2.=1时，比值审敛 法失效，必须用其它的方法来判别.13设正项级数当时,级数发散;当时,级数收敛;当时，敛散性不定.定理5（根值审敛法）（根值判敛法一般适用于 中含有以 n 为指数的幂）作业：36例8、PP252：3(3). 判别级数的敛散性:级数收敛。级数收敛.解注意: 由比值和根值法判断发散的级数,其一般项趋于无穷大.14小结：正项级数及其审敛法正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界.（比较审敛法）定理2.定理1.定理3.（比较审敛法的极限形式）定理4.（比值审敛法）定理5.（根值审敛法）15二、交错级数及其审敛法交错级数：或定理6(莱布尼茨定理)若满足:则级数收敛, 且其和其余项证单增且有上界,故证毕 16例 判定级数的敛散性:解所以级数收敛.所以级数收敛.17补例 判断交错级数 的敛散性.解 1）借助函数可以用导数判断其单调性. x=n是它的特殊值知：f(x)在x1时单调减少，于是取x=n，故原级数收敛.2）考虑到取x=n18三、任意项级数的敛散性任意项级数：则称为绝对收敛. 若收敛,例如,条件收敛;绝对收敛.为任意实数.定理7 绝对收敛,若级数必定收敛.则级数定义 若收敛, 但发散, 则称为条件收敛.19证设收敛,令由正项级数比较审敛法知收敛.由性质知,收敛.证毕 逆命题不成立，即收敛的级数未必绝对收敛. 若由比值审敛法或根值审敛法判定发散,则可以断定发散.注意20判定级数的敛散性, 若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛?解因收敛, 故原级数绝对收敛.发散,收敛,且为条件收敛.例9、PP252：5(1)、例10 原级数发散.21小结：交错级数, 绝对收敛, 条件收敛.定理6(莱布尼茨定理)-交错级数审敛法定理7 作业：7绝对收敛,若级数必定收敛.则级数反过来不一定成立但用根值法和比值法判断出绝对值的级数发散 ，则一般项极限为无穷大，故原级数也发散.22解PP252：5(5)所以原级数发散.发散,判定级数的敛散性, 若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛?232. 判别下列级数的敛散性：242. 判别下列级数的敛散性：解取则所以, 由极限审敛法知, 该级数发散. 解所以, 由比值审敛法知, 该级数发散. (极限审敛法)(比值审敛法)25收敛, 故原级数收敛.解26解而发散, 发散. 对于极限审敛法:若则发散, 发散. 则收敛, 收敛. (比较审敛法)若27解1）当时, 级数收敛；2）当时, 级数发散。3）当时, 原级数变为则当时, 级数发散；当时, 级数收敛。(根值、比值审敛法)283. 正项级数 和 都收敛，证明级数 也收敛。证收敛所以收敛,所以收敛,因为29解4. 级数 收敛,问级数 是否也收敛？试说明理由.且不一定.例305. 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性：315. 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性：解收敛。收敛。 所以原级数绝对收敛。原级数绝对收敛。 原级数条件收敛。原级数发散32解发散，发散。对于该交错级数，由于1）2）条件收敛。33解收敛， 因此，原级数绝对收敛。6. 求下列极限：346. 求下列极限：解收敛。 设对于35解设则收敛3637练习1 判定级数的敛散性, 若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛?问 的收敛性.练习2 设 为正项单减数列， 发散，（98研）练习3 设 （99研）练习3答案：高数指导P284例11.938