氢原子的量子理论氢原子定态薛定谔方程的求解氢原子由一个质子和一个电子组成，电子受质子库仑电场作用而绕核运动（质子静止）。电子的状态由波函数描述，波函数满足定态薛定谔方程：这里 ，（1）式可写成采用球坐标：球坐标下：（2）式则为：波函数分离变量，令代入方程（3）可得：分离变量得（5b ）的解是 的单值性要求角动量的本征函数和相应的量子数 根据归一化条件，得归一化系数为 归一化方位角波函数为 （5a ）是勒让德方程，其解是勒让德多项式。为了使和 时， 为有限，必须限定m l ，如l=1， m = 0, 1，共（2l+1）个m将()和()合并，并正交归一化，得 球谐函数引入角动量算符为 直角坐标系中的分量式 球坐标系中的分量式 角动量平方算符为 式中算符 将 = l(l+1)和球谐函数代入得将角动量平方算符代入上式，得 角动量平方算符本征值： L2 = l(l+1)2 角动量的本征值： 核外电子相对于核的角动量，称为轨道角动量。l 称为轨道量子数或角量子数，表示电子相对于原 子核的角动量的大小。本征函数球谐函数Ylm (,)既是算符 的本征函数，也是算符 的本征函数算符Lz2的本征值为 m = 0, 1, 2, , l m称为磁量子数，表示电子轨道角动量的z分量的大小。 轨道角动量在空间不能任意取向，而只能取某些特 定方向的性质，称为角动量的空间量子化。 空间取向量子化示意图空间取向量子化示意图000.0Lz h=mll=0 l=1 l=2 l=3径向波函数和氢原子的能级 将 = l(l+1)代入径向波函数R (r)所满足的方程,得令 于是势能为 其中 因E 0，将上式代入式，得 由上式解得的径向波函数，为 归一化系数为 式中 n = 1, 2, 3, , l = 0, 1, 2, , (n-1) 径向波函数Rnl (r)中 的也是一个特殊函数，称为(l+1-n)阶合流超几何多项式。 a的具体形式为 满足束缚态条件时，有由上式可得氢原子的能量本征值为 这就是氢原子的能级公式。能级完全由主量子数决定。 从能级公式可以看到，E = 0，这就是电离。 当n = 1，即氢原子处于基态时，能量为 主量子数能量的本征函数En 的本征函数 本征函数nlm (r, , )也就是在一定的主量子数n 、角量子数l和磁量子数m时氢原子(或者说氢原子中的 电子)所处的量子态。这个量子态的本征能量En 只决定 于主量子数n，而与角量子数l和磁量子数m无关。 对于任何一个主量子数n，共有 个量子态都对应于相同的能量本征值En ，这种情形 就称为能级En 是简并的，能级En的简并度是n2。 能级的简并度小节：1 主量子数n主量子数决定着氢原子的能量，E 与n 的依赖关系与波尔理论相同。2 角量子数l 角动量有确定值，为角动量是量子化的，叫轨道角动量。习慣用小写字母表示电子 具有某一轨道角动量的量子态，氢原子只能处在一些分立的状态 ，用主量子数，角量子数，磁量 子数来描述3 磁量子数ml由波函数 Rnl(r)Ylm(,) 描写的定态，不但具有确定的能量和角动量的大小，而且具有确定的Lz(角动 量在Z轴方向的分量)角动量的分量也只能取分立值，即空间量子化。16*1-7 氢原子中电子的概率分布 一、电子概率的径向分布 d 体元内的概率应表示为 在半径为r到r+dr的球壳内发现电子的概率为 式中 是电子出现在相应球壳内的概率密度，称为电子概率的径向分布函数。 一些低量子数的径向概率分布曲线 n-l-1个节点对分布函数的一阶导数等于零求得 （r为最概然半径 ）可以证明，对于n-l-1 = 0的所有量子态的最概然半 径可以表示为 与玻尔理论中各能级所对应的圆形轨道半径公式一致 。立体角d = sin d d内发现电子的概率为 式中wlm (, )是电子出现在相应立体角内的概率 密度，称为电子概率的角度分布函数。 在上式中，由于 与无关,所以角度分布函数wlm (, )是以z轴为旋转对称轴的。 一些低量子数态 的角分布曲线。